Apunts d’Anàlisi Real

2.1 Espais de funcions contínues 23
(D1) No negativitat: d(f, g) ≥ 0.
(D2) No degeneració: d(f, g) = 0 sii f = g.
(D3) Simetria: d(f, g) = d(g, f).
(D4) Desigualtat triangular: d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), ∀h.
Exemple. Sigui K = [0, 1] i
F = {f ∈ C(K, ), f(x) > 0 ∀x ∈ [0, 1]}.
Anem a demostrar que F és un conjunt obert de C(K, ) amb la topologia de la distància
induïda per la norma del suprem.
Hem de veure que, donat un punt f ∈ F, existeix ɛ > 0 tal que si ||f − g|| < ɛ llavors g ∈ F.
Com que f és contínua en el compacte [0, 1], hi assoleix un valor mínim, m, que haurà de ser
m > 0. Escollint ɛ = m 2 , tindrem que, de ||f − g|| < m 2 , es dedueix |f(x) − g(x)| < m 2
, ∀x ∈ [0, 1]
és a dir,
− m 2 < g(x) − f(x) < m , ∀x ∈ [0, 1].
2
Llavors emprant la desigualtat de l’esquerra en la identitat
s’arriba a
i per tant g ∈ F.
Direm que una successió (f n ) de C(K,
Per a n, m > ν ɛ tindrem
g(x) = f(x) + g(x) − f(x)
(
g(x) > m + − m )
= m 2 2 > 0,
) és de Cauchy si, donat ɛ > 0, existeix ν ɛ tal que
∀n, m > ν ɛ ⇒ ||f n − f m || < ɛ.
sup{|f n (x) − f m (x)|} < ɛ
x∈K
i per tant la convergència de Cauchy de successions en l’espai C(K, ) equival a la convergència
uniforme de Cauchy que hem tractat en el tema anterior. La norma que hem definit a C(K, )
s’anomena norma del suprem, i ja coneixem les seves propietats. En particular
Teorema 2.1 C(K,
) amb la norma del suprem és un espai normat i complet.
Demostració. Que és un espai normat ja ho hem demostrat. Sols cal veure que és complet,
és a dir, que conté el límit de qualsevol successió de Cauchy. Si {f n } és de Cauchy, per a tot
ɛ > 0 existeix ν ɛ tal que
||f n − f m || < ɛ ∀n, m > ν ɛ ,
és a dir,
i per tant
sup{|f n (x) − f m (x)|} < ɛ,
x∈K
|f n (x) − f m (x)| < ɛ ∀x ∈ K.
Fixat x ∈ K, la successió numèrica {f n (x)} és, per tant, de Cauchy (a ), i com que és
complet, convergeix a un valor real que anomenen f(x). Això defineix f(x) per a cada x ∈ K i,
del tema anterior, sabem que f ∈ C(K, ). □
Un espai normat i complet s’anomena un espai de Banach. Per tant podem reformular el
teorema anterior com
Carles Batlle i Enric Fossas 2002