Apunts d’Anàlisi Real

4.4 Sèries de Fourier trigonomètriques 89
2. En els punts de discontinuïtat existeixen els límits, per la dreta i l’esquerra, i són finits.
Direm que f és suau a trossos en [a, b], i escriurem f ∈ PS[a, b], si f ∈ PC[a, b] i f ′ ∈ PC[a, b].
Una funció és PC o PS a si ho és a qualsevol interval fitat.
Per a preparar el resultat principal d’aquesta Secció, sigui f ∈ L 2 ((−π, π)), estesa 2πperiòdicament
fora de (−π, π), i sigui S f N
(x) la suma parcial N-èsima de la seva sèrie de Fourier
trigonomètrica, que expressem en forma complexa:
on
S f N (x) = a 0
N
2 + ∑
(a n cos nx + b n sinnx) =
n=1
N∑
n=−N
C n e inx , (4.10)
C n = 1 ∫ π
f(x)e −inx dx. (4.11)
2π −π
Substituint (4.11) a (4.10), canviant n per −n, efectuant un canvi de variable i emprant la
periodicitat de l’integrand, hom obté
S f N (x) = 1
2π
N∑
n=−N
∫ π
−π
f(x + z)e inz dz =
∫ π
−π
f(x + z)D N (z) dz, (4.12)
on hem introduit el nucli de Dirichlet, D N (z), que admet les expressions següents (la comprovació
es deixa al lector com a exercici):
D N (z) = 1
2π
N∑
n=−N
= 1
2π + 1 π
e inz (4.13)
N∑
cos nz (4.14)
n=1
= 1 e i(N+1)z − e −iNz
2π e iz − 1
= 1
2π
(4.15)
sin(N + 1 2 )z
sin z . (4.16)
2
De la darrera forma és immediat veure que D N (z) té un màxim de valor (2N + 1)/(2π) en
z = 0, és simètric té un primer zero a ±2π/(2N + 1) (vegeu Figura 4.2). Quan N creix, cal
esperar per tant que sols els valors al voltant de z = 0 contribuiran a la integral i, intuitivament,
S f N≫1
N
(x) ∼ f(x).
Moltes coses poden anar malament en aquest raonament heurístic, en particular si f no és
contínua. Amb l’objectiu d’aclarir-ho s’encuncia el següent:
Lema 4.9 El nucli de Dirichlet satisfà
∫ 0
−π
D N (x) dx =
∫ π
0
D N (x) dx = 1 , ∀N ∈ ¡. (4.17)
2
Demostració. Evident a partir de (4.14).
□
Ara ja es pot donar el resultat més important de convergència puntual.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002