Apunts d’Anàlisi Real

3.6 La integral. El Teorema de Convergència Monòtona 55
1. Si c = 0, llavors cϕ és la funció simple identicament igual a zero i la relació és certa,
encara que ∫ ϕ pugui ser +∞, ja que 0 · ∞ = 0. Si c > 0 llavors cϕ ∈ M + (X, X) amb
representació canònica heretada de la de ϕ:
cϕ =
n∑
j=1
(ca j )£ Ej .
Per tant
∫
cϕ =
n∑
(ca j )µ(E j ) = c
j=1
n∑
j=1
∫
a j µ(E j ) = c
ϕ.
2. Suposem les representacions canòniques
n∑
m∑
ϕ = a j £ Ej , ψ = b k £ Fk .
j=1
k=1
Llavors, emprant les propietats dels conjunts que intervenen en una representació canònica,
ϕ + ψ =
=
=
=
=
n∑
a j £ Ej +
j=1
m∑
b k £ Fk
k=1
n∑
a j £
⋂ Ej (∪ m
k=1 F k ) +
j=1
n∑
j=1
a j £ ⋃ m
k=1 (E j∩F k ) +
n∑ ∑
m
a j
j=1
n∑
j=1 k=1
£ Ej ∩F k
+
k=1
m∑
m∑
b k £
⋂ Fk (∪ n
j=1 E j )
k=1
m∑
k=1
m∑ n∑
b k
k=1
(a j + b k )£ Ej ∩F k
.
b k £ ⋃ n
j=1 (F k∩E j )
£ Fk ∩E j
j=1
Encara que els E j ∩ F k són disjunts, els valors a j + b k poden no ser diferents, de manera
que la darrera expressió no és necessàriament la representació canònica de ϕ + ψ. Siguin
c h , h = 1, . . .,p els valors diferents en el conjunt
{a j + b k ; j = 1, . . .,n, k = 1, . . .,m}
i sigui G h la unió de tots aquells E j ∩ F k ≠ ∅ tals que c h = a j + b k . Com que els E j ∩ F k
són disjunts,
µ(G h ) = ∑ (h)
µ(E j ∩ F k ),
on (h) indica la suma sobre els j, k tals que a j + b k = c h i E j ∩ F k ≠ ∅. La representació
canònica de ϕ + ψ serà
p∑
ϕ + ψ = c h £ Gh ,
h=1
Carles Batlle i Enric Fossas 2002