Apunts d’Anàlisi Real

92 Sèries de Fourier
Teorema 4.12 Sigui f 2π-periòdica, contínua i PS( ) i, a més, f ′ ∈ PS( ). Si
llavors
f(x) = SFT(f)(x) = a 0
∞
2 + ∑
(a n cos nx + b n sinnx) =
n=1
1
2 (f ′ (x + ) + f ′ (x − )) = SFT(f ′ )(x) =
∞∑
n=−∞
∞∑
(nb n cos nx − na n sinnx) =
n=1
C n e inx ,
∞∑
n=−∞
inC n e inx .
i
Demostració. Com que f ′ és 2π-periòdica i PS( ), li podem aplicar el Teorema de Dirichlet
1
2 (f ′ (x + ) + f ′ (x − )) = SFT(f ′ )(x) =
∞∑
n=−∞
C ne ′ inx lema 4.11
=
∞∑
n=−∞
inC n e inx .
□
Al considerar la integració d’una sèrie de Fourier, cal tenir en compte que la integral (indefinida)
d’una funció periòdica pot no ser periòdica. Per exemple f(x) = 1 és periòdica però
F(x) = x no ho és. En una sèrie de Fourier, la integral de cada terme és una funció periòdica,
excepte el terme constant. Això ens porta al següent resultat:
Teorema 4.13 Sigui f 2π-periòdica i PC( ) amb coeficients a n , b n , C n , i sigui F(x) = ∫ x f.
Si C 0 = a 0
2
= 0 llavors
F(x) = K +
∑ C n
in einx , (4.19)
n∈ ,n≠0
on el terme constant és igual al valor promig de F (que depén de quina primitiva s’agafi)
K = 1
2π
∫ π
−π
F(x) dx.
Si C 0 ≠ 0 llavors la sèrie val F(x) − C 0 x, amb el mateix valor de K.
Demostració. Com que és la integral d’una PC, F és contínua i PS. A més
F(x + 2π) − F(x) =
∫ x+2π
x
f(t) dt =
∫ π
−π
f(t) dt = 2πC 0 ,
de manera que si C 0 = 0 llavors F és 2π-periòdica. Pel Teorema de Dirichlet, F(x) = SFT(F)(x)
a tots els punts, i com que F ′ = f, emprant el lema 4.11, s’obté (4.19). Si C 0 ≠ 0, els mateix
argument pot aplicar-se a g(x) = f(x) − C 0 , que dóna lloc a una primitiva G(x) = F(x) − C 0 x
que és 2π-periòdica.
□
Una condició suficient per a la convergència uniforme ve donada pel següent teorema.
Teorema 4.14 Si f és 2π-periòdica, contínua i PS( ), llavors SFT(f)(x) convergeix a f
uniforme i absolutament a tot .
Demostració. Per ser f contínua i PS, la sèrie de Fourier de f convergeix puntualment a
f en tot x ∈ . Per veure la convergència uniforme i absoluta, sols cal demostrar que ∑ ∑
|a n | i
|bn | convergeixen, ja que
|a 0 |
∞
2 + ∑
|a n cos nx + b n sin nx| ≤
n=1
∞∑ ∞∑
|a n | + |b n |.
n=0
n=1
Carles Batlle i Enric Fossas 2002