Apunts d’Anàlisi Real

36 Espais de funcions contínues
Proposició 2.16 Un subespai vectorial de funcions és un reticle sii és tancat respecte al valor
absolut.
Demostració. Evident a partir de (2.9) i (2.10) i les relacions inverses corresponents.
□
El penúltim pas, més important, és el següent lema, anomenat del valor absolut:
Lema 2.17 Si B ⊂ C([a, b],
) és una subàlgebra que conté les constants i f ∈ B, llavors |f| ∈ ¯B.
Demostració. En primer lloc, cal dir que el resultat és cert encara que la subàlgebra no
contingui les constants, però és llavors lleugerament més llarg de demostrar. Com que en la
Proposició 2.15 aquesta condició és fonamental i al final ho barrejarem tot, la posem també aquí
per simplificar.
Hem de veure que podem aproximar uniformement |f| amb elements de B. Sigui ɛ > 0 i
sigui g ∈ C([−||f||, ||f||], ) donada per g(x) = |x|. Pel teorema d’aproximació de Weierstrass,
existeix p ∈ [x] tal que
||p − g|| =
Sigui p(ξ) = ∑ n
k=0 a kξ k . Tindrem
sup |p(x) − |x|| < ɛ.
x∈[−||f||,||f||]
(p ◦ f)(x) =
n∑
a k (f(x)) k .
Com que f ∈ B i B és una subàlgebra que conté les constants, tenim que p ◦ f ∈ B. Llavors
k=0
|(p ◦ f)(x) − |f(x)|| = |p(f(x)) − |f(x)|| < ɛ, ∀x ∈ [a, b]
ja que f(x) ∈ [−||f||, ||f||] si x ∈ [a, b]. Per tant
||p ◦ f − |f|| < ɛ
amb p ◦ f ∈ B i queda demostrat el que voliem.
□
Qüestió: Vegeu com s’ha de canviar la demostració si la subàlgebra no conté les constants.
Ara ja podem enunciar el
) una subàlgebra que conté les con-
Teorema 2.18 (de Stone-Weierstrass) Sigui B ⊂ C([a, b],
stants i separa punts. Llavors ¯B = C([a, b], ).
Demostració.
Sols s’ha de veure que si B és una subàlgebra també ho és ¯B. Si f = limf n , g = limg n ,
(f n ) ⊂ B, (g n ) ⊂ B, α ∈ , tenim
αf
= α limf n = lim(αf n ) ∈ ¯B,
f + g = limf n + limg n = lim(f n + g n ) ∈ ¯B,
fg = limf n limg n = lim(f n g n ) ∈ ¯B,
ja que, al ser B subàlgebra, αf n f n + g n f n g n són successions de B i el seu límit està a ¯B.
De les Proposicions 2.15 i 2.16, el Lema 2.17 i el teorema d’aproximació de Stone es dedueix
que ¯B és dens a C([a, b], ) i per tant B també. Es deixa al lector fer un diagrama detallat amb
les implicacions.
□
Carles Batlle i Enric Fossas 2002