Apunts d’Anàlisi Real

1.10 Sèries de Taylor 19
on ( α
=
n)
α · (α − 1) · · ·(α − n + 1)
.
n!
Anem a demostrar directament que f(x) = g(x). Hom té, de manera trivial,
f ′ (x) =
i de manera menys trivial es veu també que
g ′ (x) =
αa
1 + ax f(x)
αa
1 + ax g(x)
Com que f(0) = 1 i g(0) = 1, pel teorema d’existència i unicitat de solucions d’EDO es té
que g(x) = f(x) en un entorn de 0 i per tant, pel Teorema 1.19, f(x) = g(x) en tot el radi
de convergència, que resulta ser 1/|a|. Per tant
(1 + ax) α = ∑ n≥0
( α
a
n)
n x n , x ∈ (− 1
|a| , 1
). (1.16)
|a|
4. Com a cas particular de (1.16), sigui f(x) = 1/(1 − x), és a dir, a = 1, α = −1. Tenim
R = 1 i ( ) −1 (−1)(−2) · · ·(−1 − n + 1)
= = n!(−1)n = (−1) n
n
n!
n!
i per tant 1/(1 − x) = ∑ ∞
n=0 (−1)n (−1) n x n . Hom obtè així
i de la mateixa manera
1
∞
1 − x = ∑
x n , x ∈ (−1, 1), (1.17)
n=0
1
∞
1 + x = ∑
(−1) n x n , x ∈ (−1, 1). (1.18)
5. Si integrem (1.17) entre x = 0 i un x qualsevol amb |x| < 1 tindrem
d’on
n=0
− log(1 − x) =
log(1 − x) = −
∞∑
n=1
∞∑
n=0
x n+1
n + 1
i, igualment, partint de (1.18) o canviant x per −x a (1.19),
log(1 + x) = −
x n
, x ∈ (−1, 1), (1.19)
n
∞∑
(−1) nxn , x ∈ (−1, 1). (1.20)
n
n=1
Carles Batlle i Enric Fossas 2002