Apunts d’Anàlisi Real

4.4 Sèries de Fourier trigonomètriques 91
Notem que g és tant bona com f a (−π, π), excepte possiblement en y = 0. Aplicant però la
regla de l’Hôpital tenim
lim g(y) = −if ′ (x + ),
y→0 +
lim g(y) = −if ′ (x − ),
y→0 −
que existeixen per ser f de PS(−π, π). Per tant g és de PC(−π, π) i per tant de L 2 ((−π, π)).
Aplicant la desigualtat de Bessel, si Ĉ n = (â n − iˆb n )/2 són els coeficients de Fourier complexos
de g, tindrem
lim Ĉ n = 0
n→±∞
amb
Però (4.18) és
Ĉ n = 1 ∫ π
g(y)e −iny dy.
2π −π
S f N (x) − 1 2 (f(x+ ) + f(x − )) = Ĉ−(N+1) − ĈN
i per tant
(
lim S f
N→∞
N (x) − 1 )
2 (f(x+ ) + f(x − )) = 0.
□
Exercici. Escriviu i demostreu els teoremes de Dirichlet per al sistema trigonomètric a (0, L)
i per als sistemes de cosinus i de sinus a (0, π). Es pot fer amb canvis de variables i extensions
simètriques o antisimètriques.
A més de la convergència puntual, ens interessa també saber si es pot dir quelcom d’específic
respecte a la derivació i integració de sèries de Fourier trigonomètriques, així com sobre la
seva convergència uniforme, més enllà dels resultats generals per a sèries funcionals. Un fet
fonamental és el següent
Lema 4.11 Sigui f 2π-periòdica, contínua i PS( ). Siguin a n , b n , C n els seus coeficients de
Fourier (reals i complexos) i siguin a ′ n, b ′ n, C ′ n els de f ′ . Llavors
a ′ n = nb n , b ′ n = −na n , C ′ n = inC n .
Demostració. És una simple integració per parts. Noteu que no assegurem que el teorema
de Dirichlet sigui aplicable a f ′ , pero tantmateix els seus coeficients de Fourier existeixen per
ser f ′ de PC( ). Tenim
C ′ n = 1
2π
= 1
2π
∫ π
−π
f ′ (x)e −inx dx
(
f(π)e −inπ − f(−π)e inπ) + in
2π
= 1
2π (−1)n (f(π) − f(−π)) + inC n = inC n
per ser f contínua. Llavors
∫ π
a ′ n = 1 2 (C′ n + C ′∗
n ) = 1 2 n(iC n − iC ∗ n) = ni C n − C ∗ n
2
b ′ n = i 2 (C′ n − C ′∗
n ) = i 2 n(iC n + iC ∗ n) = −n C n + C ∗ n
2
−π
f(x)e −inx dx
= nb n ,
= −na n .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002