Apunts d’Anàlisi Real

32 Espais de funcions contínues
Com que els punts on està avaluada f en el sumatori sobre I estan a una distància menor que
δ, podem emprar la continuïtat de f per fer aquest sumatori tant petit com volguem:
∑
(
∣ x
)∣ (
∣∣ n
∣f(x) − f x
n k)
k (1 − x) n−k < ɛ 2
k∈I
Els índex k de Ĩ són tals que ∣ ∣x − k ∣
n
≥ 4√ 1
n
, és a dir
≤ ɛ 2
∑
k∈I
n∑
k=0
(
x − k ) 2
≥ √ 1 , k ∈
n
Ĩ. n
( n
k)
x k (1 − x) n−k
( n
k)
x k (1 − x) n−k = ɛ 2 .
El sumatori sobre Ĩ es pot fer tant petit com es vulgui emprant el resultat del lema anterior i el
fet que la diferència de dos valors de f no pot ser més gran que 2α:
∑
(
∣ x
)∣ (
∣∣ n
∣f(x) − f x
n k)
k (1 − x) n−k < 2α ∑ ( n
x
k)
k (1 − x) n−k
k∈Ĩ
k∈Ĩ
= 2α ∑ ( )
n x −
n 2
k
( )
k)(
k∈Ĩ x −
n 2
x k (1 − x) n−k
k
≤ 2α √ n ∑ (
x − n ) ( 2 n
x
k k)
k (1 − x) n−k
k∈Ĩ
≤ 2α √ n∑ (
n x − n ) ( 2 n
x
k k)
k (1 − x) n−k
k=0
≤ 2α √ n 1
4n =
α
2 √ n ≤ ɛ 2 .
Hem arribat així a
per a tot x ∈ [0, 1], i per tant
|f(x) − B n,f (x)| < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ,
||f − B n,f || < ɛ,
amb un n que només depèn de ɛ, tal com voliem demostrar.
□
El teorema d’aproximació de Weierstrass permet demostrar que C([a, b], ) és separable,
és a dir, existeix un conjunt numerable d’elements de C([a, b], ), els polinomis amb coeficients
racionals, que és dens a C([a, b], ). Això es demostra en dos passos:
1. El conjunt de polinomis amb coeficients racionals és dens a C([a, b], ).
2. El conjunt de polinomis amb coeficients racionals és numerable.
Per veure la primera afirmació, sigui p amb coeficients reals obtingut, per exemple, amb el
teorema d’aproximació de Bernstein, tal que
sup |a n x n + · · · + a 1 x + a 0 − f(x)| < ɛ
x∈[a,b]
2 ,
Carles Batlle i Enric Fossas 2002