Apunts d’Anàlisi Real

28 Espais de funcions contínues
• El teorema de Dini també donava condicions suficients per a que una successió fos, tota
ella, uniformement convergent. El teorema de Dini és, en aquest sentit, més fort que la
proposició que acabem de veure, però alhora és molt més particular que el resultat que
finalment trobarem aquí.
Ja hem notat que sols hem utilitzat el fet que la successió de funcions reals és puntualment
fitada. De fet, tenim el següent
). Si la successió és equicontínua i puntual-
Lema 2.8 Sigui K compacte i sigui (f n ) ⊂ C(K,
ment fitada, llavors és uniformement fitada.
Demostració. Sigui ɛ > 0. Emprant l’equicontinuïtat de la successió, sigui δ = δ ɛ > 0 tal
que, si |x − y| < δ, x, y ∈ K,
|f n (x) − f n (y)| < ɛ (2.1)
Per a cada x ∈ K, sigui
ϕ(x) = sup{|f n (x)|},
n∈
que existeix degut a que la successió és puntualment fitada. Es demostra que ϕ és contínua
sobre el compacte K, i per tant és fitada, de manera que existeix α tal que
i, per tant, ∀n,
i
|ϕ(x)| = ϕ(x) < α ∀x ∈ K,
|f n (x)| ≤ ϕ(x) < α ∀x ∈ K
||f n || ≤ α ∀n.
□
Exercici: Demostreu que la funció ϕ del lema és contínua. Ajuda: per a ε prou petit, podeu
suposar que f n (x) i f n (y) tenen el mateix signe.
Tots aquests resultats es poden condensar en el
Teorema 2.9 (d’Arzelà-Ascoli) Sigui K ⊂ compacte i sigui F una família de funcions reals
contínues sobre K. Llavors les següents afirmacions són equivalents:
(a) La família F és puntualment fitada i equicontínua en K.
(b) De cada successió d’elements de F s’en pot extreure una parcial uniformement convergent.
Demostració.
(a)⇒(b) Ha estat demostrat en la proposició i lema anteriors.
(b)⇒(a) Ho veurem demostrant que si (a) és fals llavors (b) és fals. Veurem que si F no és
puntualment fitada o no és equicontínua, llavors s’en pot extreure una successió sense cap
parcial uniformement convergent.
Si F no és puntualment fitada en algun x ∈ K, existeix una successió (f n ), f n ∈ F tal que
|f n (x)| > n
i per tant ||f n || > n. Cap parcial de (f n ) serà tampoc uniformement fitada i, pels resultats
de la Secció 2.2, no serà uniformement convergent.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002