Apunts d’Anàlisi Real

42 La integral de Lebesgue
Exemples de σ−àlgebres
1. X qualsevol conjunt i X = P(X).
2. X qualsevol conjunt i X = {∅, X}.
3. X qualsevol conjunt, E ⊂ X i X = {∅, E, E, X}.
4. Donades dues σ−àlgebres X 1 i X 2 sobre el mateix conjunt X, llavors X 3 = X 1 ∩ X 2 és
també una σ−àlgebra.
5. Sigui Z ⊂ P(X). Tenim que P(X) és una σ−àlgebra que conté Z, i que la intersecció de
dues σ−àlgebres que continguin Z és també una σ−àlgebra que conté Z. Per tant hi ha
una σ−àlgebra mínima (en el sentit d’inclusió de conjunts) que conté Z, i és la intersecció
de totes les σ−àlgebres que contenen Z. S’anomena la σ−àlgebra generada per Z.
6. Sigui X = . L’àlgebra de Borel, B, és la σ−àlgebra generada per tots els intervals
oberts (a, b). Coincideix amb la generada pels intervals tancats, pels intervals semioberts
o per les semirrectes. Un conjunt de B s’anomena borelià.
7. Sigui X = ∗ = ∪ {−∞, +∞}. Si E és un borelià, siguin
E 1
E 2
E 3
= E ∪ {−∞},
= E ∪ {+∞},
= E ∪ {−∞, +∞},
Llavors
B ∗ = ⋃ E∈B{E, E 1 , E 2 , E 3 }
és una σ−àlgebra sobre
∗ , anomenada l’àlgebra de Borel estesa.
Podem ara passar a introduir les funcions sobre les que es desenvolupa la teoria de la integració.
Una funció f : X → s’anomena X −mesurable si ∀α ∈ el conjunt
A α = {x ∈ X, f(x) > α}
pertany a X. En altres paraules, f −1 ((α,+∞)) ∈ X per a tot α ∈ . El següent resultat mostra
que hi ha diverses maneres equivalents de definir la característica de ser mesurable.
Proposició 3.1 Si f : X →
equivalents:
i X és una σ−àlgebra sobre X, les afirmacions següents són
(a) ∀α ∈ , A α = f −1 ((α,+∞)) ∈ X.
(b) ∀α ∈ , B α = f −1 ((−∞, α]) ∈ X.
(c) ∀α ∈ , C α = f −1 ([α,+∞)) ∈ X.
(d) ∀α ∈ , D α = f −1 ((−∞, α)) ∈ X.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002