Apunts d’Anàlisi Real

68 La integral de Lebesgue
i per tant µ(N 1
⋃
N2 ) = 0.
□
El conjunt de classes d’equivalència {[f] ; f ∈ L} es designa per L 1 = L 1 (X, X, µ) i s’anomena
l’espai de Lebesgue L 1 . Si [f] ∈ L 1 , definim la seva norma per
∫
|| [f] || 1 = |f| dµ, (3.11)
on f és qualsevol element de [f].
Lema 3.35 La norma donada per (3.11) està ben definida.
Demostració. Si f i g són representants de [f], vol dir que f = g sobre M = X − N, on
µ(N) |f|£ = 0. Com que N i |g|£ N són zero µ-g.a., les seves integrals són nul . les i
∫ ∫
∫ ∫ ∫
|f| (|f|£ = M + |f|£ N ) |f|£ = M + |f|£ N = |f|£ M
∫ ∫ ∫ ∫
∫
= |g|£ M = |g|£ M + |g|£ N = (|g|£ M + |g|£ N ) = |g|.
Teorema 3.36 (L 1 , || · || 1 ) és un espai normat.
□
Demostració. Conseqüència de la proposició i els dos lemes precedents.
□
Encara que cal recordar que els elements de L 1 són classes d’equivalència, és costum designarles
amb la notació de funcions i escriure f ∈ L 1 en lloc de [f] ∈ L 1 .
L’espai L 1 es pot generalitzar de la següent manera. Si 1 ≤ p < +∞, l’espai L p = L p (X, X, µ)
està format per les classes de µ-equivalència de funcions X-mesurables de X amb valors a tals
que |f| p és integrable. En L p es defineix
(∫
||f|| p =
) 1
|f| p p
dµ . (3.12)
Per veure que això és una norma a L p , necessitarem la següent desigualtat bàsica:
Lema 3.37 (Desigualtat de Hölder) Siguin f ∈ L p , g ∈ L q , amb p > 1 i
1
p + 1 q = 1.
Aleshores fg ∈ L 1 i
||fg|| 1 ≤ ||f|| p · ||g|| q . (3.13)
Demostració. Sigui 0 < α < 1 i sigui ϕ(t) = αt − t α per a t ≥ 0. Hom té ϕ ′ (t) < 0 si
0 < t < 1 i ϕ ′ (t) > 0 si t > 1, ϕ(t) ≥ ϕ(1) i que ϕ(t) = ϕ(1) sii t = 1. Per tant
αt − t α ≥ α − 1, t ≥ 0,
és a dir
t α ≤ αt + (1 − α), t ≥ 0.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002