Apunts d’Anàlisi Real

60 La integral de Lebesgue
Demostració. Si ∫ f = 0 sigui la successió creixent de conjunts
E n = {x ∈ X|f(x) ≥ 1 n },
de manera que
Llavors
∫
0 =
f ≥ 1 n £ E n
.
f ≥
∫ 1
n £ E n
= 1 n µ(E n) ≥ 0,
d’on µ(E n ) = 0 ∀n. Sigui el conjunt
Com que els E n formen una successió creixent,
E = {x ∈ X ; f(x) > 0} = ∪ ∞ n=1E n .
µ(E) = µ(∪ ∞ n=1E n ) = limµ(E n ) = lim 0 = 0
i per tant el conjunt de valors on f és diferent de zero té mesura nul . la, tal com voliem veure.
Sigui ara f = 0 µ-g.a. i sigui de nou E = {x ∈ X ; f(x) > 0}, que té mesura nul . la per
hipòtesi. Sigui f n = n£ E . Es té
limf n (x) =
{ +∞ f(x) > 0
0 f(x) = 0,
i per tant f ≤ limf n = lim inf f n . Aplicant el lema de Fatou tindrem
∫ ∫
∫ ∫
Fatou
0 ≤ f ≤ lim inf f n ≤ lim inf f n = lim inf n£ E = lim inf nµ(E) = lim inf 0 = 0,
d’on ∫ f = 0.
□
En el mateix esperit, veurem ara que el Teorema de Convergència Monòtona no deixa de ser
vàlid si la convergència és a tot arreu excepte excepte en un conjunt de mesura nul . la.
Corol . lari 3.22 (Generalització del Teorema de Convergència Monòtona) Si (f n ) és una successió
de funcions de M + (X, X), monòtonament creixent cap a f excepte en un conjunt de
mesura nul . la, llavors
∫ ∫
f = lim f n .
Demostració. Sigui N ∈ X amb µ(N) = 0 el conjunt on (f n ) no creix monòtonament, i
sigui M = X − N. Tindrem que (f n £ M ) convergeix monòtonament cap a f£ M a tot X i
∫
∫
TCM
f£ M = lim
f n £ M .
Com que µ(N) = 0, les funcions f n £ N i f£ N són zero µ-g.a., i pel Corol . lari anterior,
∫
∫
f n £ N = 0 =
f£ N .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002