Apunts d’Anàlisi Real

58 La integral de Lebesgue
Prenent el límit de (3.9) i emprant aquesta darrera relació ens queda
∫ ∫
α ϕ ≤ lim f n ,
i com que α pot ser arbitràriament proper a 1,
∫ ∫
ϕ ≤ lim
f n .
Aquesta construcció es pot fer per a qualsevol ϕ de les que entren en el càlcul de ∫ f. Per tant
∫ ∫ ∫
f = sup
0≤ϕ≤f
ϕ ≤ lim f n .
□
Cal notar que pot donar-se el cas ∫ f = +∞ = lim ∫ f n .
Anem a veure algunes conseqüències del Teorema de Convergència Monòtona (TCM). El
primer resultat és el de linealitat.
Corol . lari 3.18 Sigui c ≥ 0, f, g ∈ M + (X, X). Llavors
∫ ∫ ∫ ∫
(cf) = c f, (f + g) =
∫
f +
g.
Demostració. Si c = 0 és evident, ja que cf és idènticament zero. Si c > 0, sigui (ϕ n ) una
successió de funcions simples monòtonament creixent de M + (X, X) que convergeixen cap a f
(per exemple, la donada a la Proposició 3.7). Llavors (cϕ n ) és una successió amb les mateixes
propietats però que convergeix a cf. Emprant TCM i la linealitat de la integral de funcions
simples, tindrem
∫
∫
cf TCM = lim
∫
cϕ n = c lim
∫
TCM
ϕ n = c
Siguin ara (ϕ n ) i (ψ n ) monòtonament creixents cap a f i g respectivament. Llavors (ϕ n +ψ n )
és monòtonament creixent cap a f + g i amb els mateixos arguments tenim
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
(f + g) TCM
TCM
= lim (ϕ n + ψ n ) = lim ϕ n + lim ψ n = f + g.
f.
El següent resultat indica qué es pot dir de les successions no monòtones.
□
Lema 3.19 (Lema de Fatou) Si (f n ) és una successió de funcions de M + (X, X),
∫
∫
lim inf f n ≤ lim inf f n .
Demostració. Sigui g m = inf{f m , f m+1 , . . .}, de manera que g m ≤ f n si m ≤ n. Llavors
∫ ∫
m ≤ n ⇒ g m ≤
f n
i per tant
∫
∫
g m ≤ lim inf
f n .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002