Apunts d’Anàlisi Real

3.6 La integral. El Teorema de Convergència Monòtona 57
Lema 3.16 Siguin f, g ∈ M + (X, X) i E, F ∈ X.
1. Si f ≤ g llavors ∫ f ≤ ∫ g.
2. Si E ⊂ F llavors ∫ E f ≤ ∫ F f.
Demostració.
1. Si ϕ és una funció simple de M + (X, X) tal que 0 ≤ ϕ ≤ f, també verificarà 0 ≤ ϕ ≤ g.
Per tant
∫ ∫ ∫ ∫
f = sup
0≤ϕ≤f
ϕ ≤ sup
0≤ϕ≤g
ϕ = g.
2. Com que f£ E ≤ f£ F , el resultat es dedueix de l’apartat anterior. □
Podem ara demostrar ja el resultat més important de la integral de funcions de M + (X, X).
Teorema 3.17 (Teorema de convergència monòtona) Si (f n ) és una successió monòtonament
creixent, i.e. ∀n, ∀x ∈ X, f n+1 (x) ≥ f n (x), de funcions de M + (X, X), i si (f n ) convergeix vers
f puntualment, llavors
∫ ∫
f = lim f n .
n
Demostració. Del Corol . lari 3.6 es dedueix que si f n ∈ M + (X, X), llavors també f ∈
M + (X, X), i per tant té sentit ∫ f. Com que f n ≤ f, del Lema 3.16 es dedueix
∫ ∫
f n ≤ f ∀n
i per tant (a partir d’ara ometrem la indicació de respecte a quína variable es fa el límit, sempre
que això sigui evident pel contexte)
∫ ∫
lim f n ≤ f,
i només ens queda demostrar la desigualtat oposada. Sigui α ∈
funció simple de M + (X, X) tal que 0 ≤ ϕ ≤ f. Sigui
amb 0 < α < 1, i sigui ϕ una
A n = {x ∈ X ; f n (x) ≥ αϕ(x)}.
És fàcil veure que A n ∈ X, i que A n ⊂ A n+1 . A més X = ∪ n≥1 A n . Eefectivament, si x ∈ X no
pertany a cap A n , vol dir que ∀n, f n (x) < αϕ(x). Però αϕ(x) ≤ αf(x) i llavors
∀n f n (x) < αf(x),
amb 0 < α < 1, de manera que lim
n
f n (x) ≠ f(x) per a aquest x, en contra de la hipòtesi de
convergència puntual a tot X.
Emprant els lemes 3.15 i 3.16, tindrem
∫ ∫ ∫ ∫
α ϕ = αϕ ≤ f n ≤
A n A n A n
f n . (3.9)
A més, emprant la mesura generada per ϕ i la relació (3.5) de la Proposició 3.9, obtenim
∫ ∫
ϕ£ ϕ = ∪n≥1 A n
= λ(∪ n≥1 A n )
∫
= limλ(A n limϕ£ ) = An = lim ϕ.
A n
Carles Batlle i Enric Fossas 2002