Apunts d’Anàlisi Real

Índex
Presentació
iii
1 Successions i sèries funcionals 1
1.1 Successions i sèries de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Convergència uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Convergència uniforme i continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Convergència uniforme i integració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Convergència uniforme i derivació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Criteris de convergència uniforme per a sèries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Una funció contínua no derivable enlloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Sèries de potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Propietats de les funcions definides per sèries de potències . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Sèries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Espais de funcions contínues 21
2.1 Espais de funcions contínues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Equicontinuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Teorema d’Arzelà-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Teorema d’aproximació de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 La integral de Lebesgue 39
3.1 De la integral de Riemann a la de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Funcions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 La mesura exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 La mesura de Lebesgue a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 La integral. El Teorema de Convergència Monòtona . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Funcions integrables. El Teorema de Convergència Dominada . . . . . . . . . . . 61
3.8 Relació entre la integral de Riemann i la de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Integrals depenents de paràmetres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.10 Espais L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Sèries de Fourier 73
4.1 L’equació de la calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Producte escalar i sistemes ortonormals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Sèrie de Fourier respecte a un sistema ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Sèries de Fourier trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 El fenomen de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Carles Batlle i Enric Fossas 2002