Apunts d’Anàlisi Real

3.7 Funcions integrables. El Teorema de Convergència Dominada 61
Com que f = f£ M f£ + N i f n = f n £ M + f n £ N ,
∫ ∫
∫ ∫
(f£ M f£ + N ) = f£ M f£ + N =
f =
⎛
∫
= lim⎜
⎝
⎞
∫ ∫
f n £ M + f n £ N
⎟
⎠ = lim
} {{ }
=0 ∀n
∫
∫
f£ M = lim
f n £ M
∫
(f n £ M + f n £ N ) = lim
□
La darrera conseqüència del Teorema de Convergència Monòtona que veurem permet commutar
la integral amb una sèrie.
Corol . lari 3.23 Sigui (g n ) una successió de funcions de M + (X, X). Llavors
f n .
∫ ( ∑
∞ )
∞∑
∫
g n =
n=1 n=1
g n .
Demostració. Sigui f n = ∑ n
k=1 g k. Tenim que (f n ) és una successió monòtonament creixent
(per la no negativitat de les g n ) de funcions de M + (X, X) i per tant, si f = limf n ,
∫ ( ∑
∞ ) ∫
g n =
n=1
∫
f TCM = lim
∫ n∑
f n = lim g k = lim
k=1
n∑
∫
k=1
∞∑
∫
g k =
n=1
g n .
□
3.7 Funcions integrables. El Teorema de Convergència Dominada
A la Secció anterior hem definit la integral respecte de la mesura µ per a funcions de M + (X, X),
i el resultat podia ser +∞. Volem discutir ara la integració de funcions mesurables que puguin
prendre valors positius i negatius. És convenient requerir que les funcions i les seves integrals
prenguin valors a en lloc de ∗ , per tal d’evitar les expressions indefinides del tipus ∞ − ∞.
El conjunt L = L(X, X, µ) de funcions integrables o sumables està format per les funcions
f : X →
f respecte de µ es defineix llavors com
∫ ∫
f dµ =
i si E ∈ X,
X-mesurables tals que f + i f − tenen integrals finites respecte de µ. La integral de
∫
E
∫
f dµ =
E
∫
f + dµ −
f − dµ,
∫
f + dµ − f − dµ.
E
De fet, és fàcil veure que si f = f 1 −f 2 , on f 1 i f 2 són funcions mesurables no negatives amb
integral finita (no necessàriament f + i f − ) llavors
∫
∫
f =
∫
f 1 −
f 2 .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002