Apunts d’Anàlisi Real

26 Espais de funcions contínues
on hem emprat la convergència uniforme per al primer i tercer termes i la continuïtat de f n per
al segon terme. En qualsevol cas, existeix δ > 0, que depén només de ɛ, tal que si x, y ∈ K amb
|x − y| < δ llavors
|f k (x) − f k (y)| < ɛ ∀k.
Podem combinar les dues proposicions en un sol resultat
□
). Si la suc-
Teorema 2.6 Sigui K compacte i sigui (f n ) una successió de funcions de C(K,
cessió és uniformement convergent llavors el conjunt
F = {f n }
és equicontinu i uniformement fitat.
2.3 Teorema d’Arzelà-Ascoli
Ens preguntem ara si les condicions necessàries per la convergència uniforme que teniem en el
darrer teorema són també suficients. La resposta és afirmativa i s’expressa en la següent
Proposició 2.7 Qualsevol successió de funcions equicontínua i uniformement fitada en un compacte
té una parcial uniformement convergent.
Demostració. Suposem que {f n } satisfà les hipòtesis de la proposició. Tindrem, del fet
que és uniformement fitada, que existeix α tal que
||f n || < α ∀n.
Sigui {b n } una successió de punts fixada, però arbitrària, que formi un conjunt B dens en el
conjunt compacte. Sigui la successió de funcions avaluada sobre el primer punt:
f 1 (b 1 ), f 2 (b 1 ), f 3 (b 1 ), . . .
Com que això és una successió fitada de reals (noteu que sols emprem que {f n } és puntualment
fitada), contindrà una parcial convergent
f 1,1 (b 1 ), f 1,2 (b 1 ), f 1,3 (b 1 ), . . .
Si aquestes mateixes funcions les avaluem en el segon punt tindrem una nova successió fitada de
reals
f 1,1 (b 2 ), f 1,2 (b 2 ), f 1,3 (b 2 ), . . .
que al seu torn contindrà una parcial convergent
f 2,1 (b 2 ), f 2,2 (b 2 ), f 2,3 (b 2 ), . . .
D’aquesta manera podrem construir una família de successions de funcions
amb les següents propietats
σ 1 (x) : f 1,1 (x), f 1,2 (x), f 1,3 (x), . . .
σ 2 (x) : f 2,1 (x), f 2,2 (x), f 2,3 (x), . . .
σ 3 (x) : f 3,1 (x), f 3,2 (x), f 3,3 (x), . . .
.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002