Apunts d’Anàlisi Real

80 Sèries de Fourier
Exemples de sèries de Fourier
1. Sèrie de Fourier trigonomètrica a L 2 ((−π, π)). La sèrie és
amb
SFT(f)(x) = c 0
1
√
2π
+
c 0 =
c 2n−1 =
c 2n =
∞∑
n=1
∫ π
−π
∫ π
−π
∫ π
−π
(
)
cos nx sinnx
c 2n−1 √ + c 2n √ π π
1
f(x) √ dx 2π
cos nx
f(x) √ π
sin nx
f(x) √ π
A la majoria de llibres d’enginyeria i física, però, s’acostuma a redefinir els coeficients:
dx
dx.
a 0 = 2 c 0
√
2π
, a n = c 2n−1
√ π
, b n = c 2n
√ π
,
i s’obté la forma (més popular, per raons òbvies)
amb
SFT(f)(x) = a 0
∞
2 + ∑
(a n cos nx + b n sinnx)
a 0 = 1 π
a n = 1 π
b n = 1 π
Hom ha de tenir en compte que
∫ π
−π
∫ π
−π
∫ π
−π
n=1
f(x) dx
f(x)cos nx dx, n = 1, 2, . . .,
f(x)sin nx dx, n = 1, 2, . . ..
(a) per a calcular els coeficients, sols es necessita conèixer f entre −π i π. Com que la
sèrie de Fourier és una funció periòdica de periode 2π, podem suposar que f està
estesa 2π-periòdicament fora de (−π, π).
(b) emprant aquesta periodicitat, tant de f com dels sinus i cosinus, les integrals es poden
calcular sobre qualsevol interval de longitud 2π, ja que per a qualsevol a ∈
∫ a+2π ∫ 2π ∫ a+2π ∫ 2π ∫ 0 ∫ 2π
= + = + = .
2π a a 0
a
a
(c) per tal de que existeixin els coeficients de la sèrie de Fourier trigonomètrica, i per
tant la sèrie, n’hi ha prou que f ∈ L 1 ((−π, π)), ja que el sinus i el cosinus estàn
fitats. Recordem que per a espais de mesura finita, si p > q llavors L p ⊂ L q i per tant
L 2 ((−π, π)) ⊂ L 1 ((−π, π)). Les sèries de Fourier trigonomètriques sols tenen, però,
bones propietats si f ∈ L 2 ((−π, π)).
(d) les simetries de f poden estalviar molts càlculs. Concretament, és fàcil veure que
Carles Batlle i Enric Fossas 2002