Apunts d’Anàlisi Real

86 Sèries de Fourier
i
0 ≤ |c k − ( ˜f, ϕ k )| = |(s n , ϕ k ) − ( ˜f, ϕ k )| = |(s n − ˜f, ϕ k )|
∫ ∣ ∫
∣∣∣
=
∣ (s n − ˜f)ϕ ∣
k ≤ ∣(s n − ˜f)ϕ
∣ ∣∣
k
I
I
= ||(s n − ˜f)ϕ k || 1
CSB
≤ ||s n − ˜f||||ϕ k || = ||s n − ˜f||.
Fent tendir ara n a ∞ queda 0 ≤ |c k − ( ˜f, ϕ k )| ≤ 0 i per tant |c k − ( ˜f, ϕ k )| = 0, tal com
voliem.
□
Comentaris.
• La completitud de (L 2 , || · || 2 ) ha jugat un paper fonamental en la demostració.
• La funció ˜f que apareix en el teorema pot ser diferent de la f que ens pugui haver donat
els coeficients c k en primer lloc. Les dues funcions proporcionen els mateixos coeficients:
d’on
(f, ϕ k ) = ( ˜f, ϕ k ) ∀k
(f − ˜f, ϕ k ) = 0 ∀k,
però d’aquí no es dedueix que f = ˜f (com elements de L 2 (I): no estem parlant de que les
dues funcions difereixin en un conjunt de mesura nul . la).
Per aclarir el darrer comentari, sigui el conjunt
(
ϕ 0 (x) = √ 1 sinx, ϕ 1 (x) = 1 )
√ sin 2x, . . .
π π
que és ortonormal a L ( (−π, π)). Les funcions f(x) = 1 + sinx i ˜f(x) = sin x són de L( (−π, π))
i proporcionen els mateixos coeficients. De fet, c 0 = √ π i c n = 0 per a n = 1, 2, . . .. Tenim
∞∑
c 2 n = π, ||f|| 2 = 3π, || ˜f|| 2 = π
n=0
i és per tant ˜f la funció l’existència de la qual es prova en el Teorema 4.4.
Exercici: Repetiu el darrer exemple amb tot igual excepte que ara treballeu a L 2 ((0, π)) i
canvieu els 1/ √ π per √ 1/π. Vegeu que en aquest cas ˜f = f.
A partir dels exemples anteriors i del Teorema 4.4 ens podem preguntar qué li falta a un
sistema ortonormal per a que la funció cap a la que tendeixen les sumes parcials de la sèrie
de Fourier d’una funció donada coincideixi amb aquesta. El següent teorema estableix quatre
condicions equivalents i dóna la resposta definitiva.
Teorema 4.5 Sigui S = (ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , . . .) ortonormal en L 2 (I). Les quatre condicions següents
són equivalents:
n∑
1. ∀f ∈ L 2 (I), lim ||f − (f, ϕ k )ϕ k || = 0.
n→∞
k=0
Carles Batlle i Enric Fossas 2002