Apunts d’Anàlisi Real

96 Sèries de Fourier
Donat que 2 és el valor de la discontinuïtat en x = 0 i que 1 és el límit de ɛ(x) per la dreta de
zero, veiem que hi ha un “sobrepuig” d’aproximadament el 9% del valor de la discontinuïtat,
per a tot N.
Exercici. Repetiu tots els càlculs amb f(x) = x, x ∈ (−π, π), estesa 2π-periòdicament.
De fet, no cal fer el càlcul per a cada funció discontínua que tinguem, ja que qualsevol
discontinuïtat es pot modelar mitjançant la funció signe. Fent una traslació, sempre podem
suposar que la discontinuïtat, de magnitud A, està en x = 0. Llavors
on θ(x) és la funció de Heaviside
f(x) = g(x) + Aθ(x),
θ(x) =
i està relacionada amb la funció signe mitjançant
{ 0 x < 0,
1 x > 0,
θ(x) = 1 (ɛ(x) + 1).
2
La funció g(x) pot tenir discontinuïtats en altres punts, però és PS i és contínua en x = 0. Per
la linealitat dels coeficients de Fourier respecte a la funció, tindrem
Com que g és contínua en x = 0, serà
S f N (x) = Sg N (x) + A1 2 (Sɛ N(x) + 1).
lim
N→∞ Sg N
(x) = g(x)
per x en un entorn de zero, i en particular per a x ∗ =
π
2N+2
S f N (x∗ ) = S g N (x∗ ) + A 2 (Sɛ N(x ∗ ) + 1)
per a N prou gran. Llavors
i
lim
N→∞ Sf N (x∗ ) = g(x ∗ ) + A ( ∫ 2 π
)
siny
dy + 1 =
2 π 0 y
( ∫ 1 π
= g(x ∗ siny
) + A + A dy − 1 )
∼
π 0 y 2
∼ g(x ∗ ) + A + A × 0.0895 =
= f(x ∗ ) + 0.0895A.
Per tant, per qualsevol N, sempre hi ha punts a la vora de la discontinuïtat a on la suma parcial
de la sèrie de Fourier i la funció difereixen en un 9% del valor de la discontinuïtat.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002