Apunts d’Anàlisi Real

2.5 Teorema de Stone-Weierstrass 35
de les f ξ , ξ ∈ [a, b] i, amb ajuda de l’operació ∨, construirem la funció de B que aproxima
uniformement f.
Com que f ξ (ξ) = f(ξ), per a cada ξ existeix B rξ (ξ), on r ξ depén de ξ i de ɛ, tal que
∀x ∈ B rξ (ξ) ∩ [a, b], f(x) − f ξ (x) < ɛ.
La compacitat de [a, b] ens permet de nou trobar un nombre finit de punts ξ 1 , ξ 2 , . . .,ξ m , tals
que
m⋃
[a, b] ⊂ B rξi (ξ i ).
Posem ara
i=1
g = f ξ1 ∨ f ξ2 ∨ · · · ∨ f ξm .
Donat x ∈ [a, b], existirà un ξ i dels esmentats tal que x ∈ B rξi (ξ i ) i, en aquest obert,
i com que g(x) ≥ f ξi (x), serà
f ξi (x) > f(x) − ɛ,
g(x) > f(x) − ɛ, ∀x ∈ [a, b]. (2.11)
D’altra banda, tots els f ξ verifiquen que f ξ (x) < f(x) + ɛ, per a tot x ∈ [a, b]. Com que, a cada
punt, g(x) coincideix amb un f ξi (x), també serà
Combinant (2.11) i (2.12) ens queda
és a dir,
g(x) < f(x) + ɛ, ∀x ∈ [a, b]. (2.12)
|g(x) − f(x)| < ɛ, ∀x ∈ [a, b],
||g − f|| < ɛ,
tal com voliem. Fixem-nos que tota la demostració no és més que un procediment de tallar i
enganxar.
□
Ens queda ara relacionar els resultats de Stone i Weierstrass. Necessitarem algunes definicions
i resultats previs.
Direm que B ⊂ C([a, b], ) separa punts si ∀x, y ∈ [a, b], x ≠ y, existeix f ∈ B tal que
f(x) ≠ f(y). En altres paraules, el conjunt de funcions de B és capaç de distingir entre x i y.
Proposició 2.15 Sigui B ⊂ C([a, b], ) una subàlgebra (n’hi ha prou que sigui subespai vectorial)
que conté les constants i que separa punts. Aleshores B té la propietat 2) del teorema
d’aproximació de Stone.
Demostració. Siguin x, y ∈ [a, b], x ≠ y, i siguin α, β ∈
g ∈ B tal que g(x) ≠ g(y). Llavors
f(·) =
α − β
(g(·) − g(y)) + β · 1
g(x) − g(y)
. Com que B separa punts, existeix
té la propietat 2) de Stone requerida, f(x) = α, f(y) = β, i a més f ∈ B, ja que B és un subespai
vectorial i conté la funció constant 1.
□
El valor absolut juga un paper important en el nostre intent de relacionar els resultats de
Stone i Weierstrass. Un primer resultat, trivial, és el següent:
Carles Batlle i Enric Fossas 2002