Apunts d’Anàlisi Real

1.6 Criteris de convergència uniforme per a sèries 9
Proposició 1.8 (Test d’Abel) Siguin (f n ) i (g n ) successions definides en A tals que
1. ∑ f n convergeix uniformement en A.
2. ∀n, ∀x ∈ A, |g n (x)| < M.
3. (g n ) és monòtona decreixent.
Llavors ∑ f n g n convergeix uniformement en A.
El segon criteri permet obtenir una sèrie uniformement convergent a partir d’una sèrie fitada
(pot ser que ni tant sols sigui convergent) i una successió uniformement convergent a zero.
Proposició 1.9 (Test de Dirichlet) Siguin (f n ) i (g n ) successions definides en A tals que
1. ∑ f n és uniformement fitada en A: ∀n, ∀x ∈ A, | ∑ n
k=1 f k(x)| < M.
2. (g n ) és monòtona decreixent en A.
3. (g n ) tendeix a 0 uniformement en A.
Llavors ∑ f n g n convergeix uniformement en A.
Comentari: En molts casos s’utilitza f k (x) = (−1) k , ja que les seves sumes parcials estan
fitades per 1 i, al ser independent d’x, estan uniformement fitades.
La demostració d’ambdues propossicions es basa en el
Lema 1.10 (Fórmula de sumació d’Abel) Donades dues successions de nombres reals (a n ), (b n ),
sigui s n = a 1 + a 2 + · · · + a n . Llavors
n∑
a k b k
k=1
n∑
= s n b n+1 − s k (b k+1 − b k )
= s n b 1 +
k=1
n∑
(s n − s k )(b k+1 − b k ).
k=1
Demostració: Tenim
n∑ n∑
n∑ n∑
a k b k = (s k − s k−1 )b k = s k b k − s k−1 b k ,
k=1 k=1
k=1 k=1
on s 0 = 0. Com que
n∑ n∑
s k−1 b k = s k b k+1 − s n b n+1
k=1 k=1
obtenim el primer resultat. El segon resultat s’obtè substituint
n∑
b n+1 = (b k+1 − b k ) + b 1
k=1
en el primer.
Exercici: Demostreu els tests d’Abel i Dirichlet.
□
Carles Batlle i Enric Fossas 2002