Apunts d’Anàlisi Real

10 Successions i sèries funcionals
1/2
-1 -1/2 1/2 1 2
Figura 1.1: La funció bàsica.
Per al test d’Abel, si r n són les sumes parcials de ∑ f n g n i s n les de ∑ f n , vegeu que
r n (x) − r m (x) = (s n (x) − s m (x))g 1 (x) +
Per al test de Dirichlet, vegeu que
n∑
k=m+1
r n (x) − r m (x) = s n (x)g n+1 (x) − s m (x)g m+1 (x) −
(s n (x) − s k (x))(g k+1 (x) − g k (x)).
n∑
k=m+1
s k (x)(g k+1 (x) − g k (x)).
Exercici: Són els lemes d’Abel i Dirichlet certs si la successió (g n ) és monòtona creixent en
lloc de decreixent?
1.7 Una funció contínua no derivable enlloc
En aquesta Secció utilitzarem els resultats sobre convergència de sèries funcionals per a construir
una funció contínua arreu però no derivable enlloc. Funcions d’aquest tipus havien estat
considerades per Bolzano (1830) i Weierstrass (1872), però l’exemple que presentarem aquí és
de van der Waerden (1930).
Sigui f 0 (x) la funció periòdica de periode 1 que per a |x| ≤ 1/2 val |x| (vegeu la Figura 1.1).
A partir d’aquesta, per a n ≥ 0 definim
f n (x) = 1
4 nf 0(4 n x).
Aquestes funcions tenen les següents propietats:
• f n és lineal a trossos i contínua a .
• f n està fitada per
• f n és periòdica de periode 1/4 n .
0 ≤ f n (x) ≤ 1 1
2 4 n ∀x ∈ .
• en els punts on és derivable, f n té derivada ±1.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002