Apunts d’Anàlisi Real

2.4 Teorema d’aproximació de Weierstrass 31
Si en aquestes tres relacions canviem a per 1 − x resulta
n∑
( n
x
k)
k (1 − x) n−k = 1, (2.5)
k=0
n∑
( n
kx
k)
k (1 − x) n−k = nx, (2.6)
k=0
n∑
( n
k
k)
2 x k (1 − x) n−k = nx + n(n − 1)x 2 . (2.7)
k=0
Multiplicant aquestes darreres per n 2 x 2 , −2nx i 1, respectivament, i sumant-les, s’obté
n∑
( ) n
(nx − k) 2 x k (1 − x) n−k = nx(1 − x),
k
o, finalment,
k=0
n∑
k=0
(
x − k ) 2 ( n
x
n k)
k (1 − x) n−k =
El resultat desitjat s’obté tenint en compte que x(1 − x) ≤ 1 4
x(1 − x)
.
n
si x ∈ [0, 1].
□
Demostració del teorema d’aproximació de Bernstein. Emprant (2.5) podem escriure
n∑
( n
n∑
( n
f(x) = f(x) x
k)
k (1 − x) n−k = f(x) x
k)
k (1 − x) n−k ,
i per tant
k=0
|f(x) − B n,f (x)| =
≤
n∑
∣
k=0
k=0
( ( x
f(x) − f
n
n∑
(
∣ x
∣f(x) − f
n
k=0
)) ( ) ∣
n ∣∣∣∣
x(1 − x) n−k
k
)∣ (
∣∣ n
x
k)
k (1 − x) n−k (2.8)
Sigui ara α = ||f||. Donat ɛ > 0, existeix un δ => 0 tal que |f(x) − f(y)| < ɛ 2
si δ > |x − y|,
amb δ que depèn només de ɛ. Sigui n tal que
{ } 1 α2
n ≥ max
δ4, ɛ 2 ,
que també depèn tant sols de ɛ. Fixat x ∈ [0, 1], sigui I ⊂ {0, 1, 2, . . .n} el conjunt dels enters
tals que ∣ ∣∣∣
x −
n∣
k ∣ < 4√ 1 < δ, k ∈ I. n
Noteu que pot ser I = ∅. Sigui Ĩ = {0, 1, 2, . . .n} − I. Descomposant (2.8) en aquests dos
conjunts tindrem
n∑
(
∣ x
)∣ (
∣∣ n
∣f(x) − f x
n k)
k (1 − x) n−k
k=0
= ∑ (
∣ x
)∣ (
∣∣ n
∣f(x) − f x
n k)
k (1 − x) n−k
k∈I
+ ∑ (
∣ x
)∣ (
∣∣ n
∣f(x) − f x(1 − x)
n k)
n−k .
k∈Ĩ
Carles Batlle i Enric Fossas 2002