Apunts d’Anàlisi Real

84 Sèries de Fourier
i si definim el producte escalar com
∫
(f, g) =
El producte escalar en espais vectorial sobre ¥, com és el cas, no és simètric sinó hermític
[0,L]
fg ∗ .
(f, g) = (g, f) ∗ ,
però els resultats que veurem pel cas real es traslladen al cas complex amb modificacions
òbvies, com per exemple canviar expressions del tipus ∑ c 2 n per ∑ |C n | 2 .
Fins ara no hem dit res sobre la convergència de la sèrie de Fourier d’una funció respecte a
un sistema ortonormal. El primer resultat fonamental és el següent:
Teorema 4.2 Sigui S = (ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , . . .) ortonormal en L 2 (I), f ∈ L 2 (I) i
Llavors
SFS(f) =
∞∑
c n ϕ n (x)
1. la sèrie ∑ ∞
n=0 c2 n convergeix i satisfà la desigualtat de Bessel
2. la identitat de Parseval
n=0
∞∑
c 2 n ≤ ||f|| 2 .
n=0
∞∑
c 2 n = ||f|| 2 ,
n=0
es verifica sii les sumes parcials de la sèrie de Fourier, s n (x) =
norma a f; i.e.
Demostració.
1. Si a la relació (4.6) posem b k = c k queda
d’on
lim ||f − s n|| = 0.
n→∞
0 ≤ ||f − s n || 2 = ||f|| 2 −
||f|| 2 ≥
n∑
k=0
per a tot n i per tant es segueix la desigualtat de Bessel.
2. Fixant-nos ara en
la segona part de l’enunciat és evident.
c 2 k
||f − s n || 2 = ||f|| 2 −
n∑
k=0
n∑
k=0
c 2 k
c 2 k
n∑
c k ϕ k , convergeixen en
k=0
Carles Batlle i Enric Fossas 2002