Apunts d’Anàlisi Real

3.10 Espais L p 69
Si a ≥ 0 i b > 0 i posem t = a/b, queda
( a
b
) α
≤ α
a
b + 1 − α,
i multiplicant per b,
a α b 1−α ≤ αa + (1 − α)b (3.14)
amb igualtat només si a = b. Prenent α = 1/p s’obté
a 1 pb 1 q ≤ a p + b q ,
i si a = A p , b = B q (amb A ≥ 0, B > 0) resulta
AB ≤ Ap
p + Bq
q
(3.15)
amb igualtat sii A p = B q .
Suposem ara que f ∈ L p , g ∈ L q , i que ||f|| p ≠ 0, ||g|| q ≠ 0 (en cas contrari, fg = 0 i tot és
trivial). El producte fg és X-mesurable, i posant
A = |f(x)|
||f|| p
,
B = |g(x)|
||g|| q
s’obté
|f(x)g(x)|
||f|| p ||g|| q
≤ |f(x)|p
p||f|| p p
+ |g(x)|q
q||g|| q . (3.16)
q
Com que, per hipòtesi, els dos termes de la dreta són integrables, es dedueix que |fg| és integrable.
A més, integrant (3.16),
||fg|| 1
≤ 1 ∫
||f|| p ||g|| q p||f|| p p
|f| p dµ + 1 ∫
q||g|| q q
|g| q dµ = 1 p + 1 q = 1.
□
La desigualtat de Hölder implica que el producte d’una “funció” de L p i una de L q és
integrable si p > 1 i q és tal que p + q = pq. Dos reals que satisfan aquesta relació s’anomenen
conjugats. L’únic real autoconjugat és p = 2 i per tant el producte de dues funcions de L 2 és
integrable:
Proposició 3.38 (Desigualtat de Cauchy-Schwarz-Bunyakovskii) Si f, g ∈ L 2 , llavors fg és
integrable i
||fg|| 1 ≤ ||f|| 2 ||g|| 2 .
Demostració. p = q = 2 a la desigualtat de Hölder.
□
La desigualtat triangular per a || · || p té nom propi:
Lema 3.39 (Desigualtat de Minkowski) Si f, g ∈ L p amb p ≥ 1. Llavors f + g ∈ L p i
||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002