Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

4.2 Dérivation covariante (connexion) 101
Cela définit bien une connexion sur E : au vu de (4.39), il s’agit de la connexion dont
tous les coefficients γ µ
αβ par rapport à la base naturelle ( ∂α) sont identiquement nuls. Il
est difficile de faire plus simple !
Cependant la connexion ainsi définie souffre de deux inconvénients majeurs :
• elle dépend clairement du choix des coordonnées (xα ) ;
• elle peut avoir un comportement non satisfaisant, comme le montre l’exemple cidessous.
Exemple : Prenons E = R 4 et un système de coordonnées sphériques (x α ) = (ct, r, θ, ϕ).
Considérons le champ vectoriel suivant
v := ∂x, (4.42)
où ∂x est le vecteur de la base naturelle des coordonnées cartésiennes (ct, x, y, z) liées
aux coordonnées sphériques via les formules habituelles [cf. (2.21) et Fig. 2.5]. Les
composantes cartésiennes de v sont (0, 1, 0, 0) et v est un champ vectoriel sur R 4 que
l’on a envie de qualifier de constant. Les composantes sphériques de v s’obtiennent
en inversant le système (2.25), (2.28) et (2.29) ; il vient :
∂x = sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ
∂r + ∂θ −
r r sin θ ∂ϕ (4.43)
∂y = sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ
∂r + ∂θ +
r r sin θ ∂ϕ (4.44)
∂z = cos θ sin θ
∂r − ∂θ.
r
(4.45)
Les composantes de v par rapport aux coordonnées sphériques (xα ) = (ct, r, θ, ϕ) se
lisent sur (4.43) :
v α
cos θ cos ϕ sin ϕ
= 0, sin θ cos ϕ, , − . (4.46)
r r sin θ
On a donc, en particulier,
∂vα = 0 pour α = 1, 2, 3 et β = 2, 3. (4.47)
∂xβ On en conclut que pour la connexion définie par (4.41),
∇v = 0, (4.48)
ce qui ne correspond pas du tout au comportement que l’on attend pour un champ
vectoriel constant !
La solution
La « bonne » définition de la connexion pour la physique passe par la prise en compte
du tenseur métrique g, que nous n’avons pas encore utilisé. Pour ce faire, considérons les