Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

272 Solutions des problèmes
d’où, par définition de ν et α :
e ν(r) =
e α(r) =
1 − 2GM
c2r
1 − 2GM
c2r −1/2
pour r > R, (C.43)
pour r > R. (C.44)
4 Puisque ρ = ρ0, la troisième équation du système TOV se met sous la forme
1
ρ0c2 dp dν
+
+ p dr dr
Cette équation s’intègre immédiatement en ln(ρ0c 2 + p) + ν = const. En prenant l’exponentielle,
on obtient ρ0c 2 + p(r) e ν(r) = const. (C.45)
À la surface de l’étoile, p = 0 car la pression externe est nulle (vide) et la pression est
une fonction continue pour une configuration d’équilibre. Quant à ν, sa valeur à l’extérieur
de l’étoile est donnée par (C.43). Comme la métrique est continue dans tout l’espace-temps
E , il en est de même de ν. On a donc, à la surface de l’étoile,
e ν(R) =
= 0.
1 − RS
, (C.46)
R
où nous avons introduit le rayon de Schwarzschild de l’étoile, RS = 2GM/c2 . Il s’agit du
rayon aérolaire du trou noir qui aurait la même masse que l’étoile. Grâce à (C.46) et à
p(R) = 0, on obtient la valeur de la constante dans (C.45) :
d’où
const = (ρ0c 2 + 0)
1 − RS
R
ρ0c 2 + p(r) e ν(r) = ρ0c 2
= ρ0c 2
1 − RS
R ,
1 − RS
. (C.47)
R
5 En reportant la valeur (C.42) de m(r) obtenue à la question 1 dans la deuxième
équation du système TOV, on obtient, pour r ≤ R,
1 dν
r dr =
1 − RS r2 R3 −1
RS 4πG
+ p .
2R3 c4 En remplaçant p par sa valeur tirée de (C.47) et en remarquant que
on obtient l’équation demandée :
1 dν
r dr
= RS
R 3
4πG
c2 ρ0 = 4πG
c2 M 3
=
4/3 πR3
1 − RS r 2
R 3
RS
2
,
R3
−1
3
2 e−ν
1 − RS
− 1 . (C.48)
R