Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

2.3 Tenseur métrique 23
Plus généralement, on appelle forme multilinéaire toute application
T : TP (E ) × · · · × TP (E ) −→ R
(v1, . . . , vk) ↦−→ T (v1, . . . , vk)
(2.40)
qui est linéaire par rapport à chacun de ses arguments. Lorsque ceux-ci sont au nombre
de deux, on dit que T est une forme bilinéaire.
La relativité fait abondamment usage des formes multilinéaires et de leur généralisa-
tion : les tenseurs. Un tenseur k fois contravariant et ℓ fois covariant (on dit aussi de type
) au point P ∈ E est une application
k
ℓ
T : TP (E ) ∗ × · · · × TP (E ) ∗
k fois
× TP (E ) × · · · × TP (E )
ℓ fois
−→ R
(ω1, . . . , ωk, v1, . . . , vℓ) ↦−→ T (ω1, . . . , ωk, v1, . . . , vℓ)
(2.41)
qui est linéaire par rapport à chacun de ses arguments. L’entier k+ℓ est appelée la valence
du tenseur. Ainsi, une forme linéaire est un tenseur de type 0
, une forme bilinéaire un
1
tenseur de type 0
. Rappelons la dualité canonique TP (E ) 2
∗∗ = TP (E ), qui signifie que
tout vecteur v peut être considéré comme une forme linéaire sur l’espace vectoriel TP (E ) ∗
suivant
v : TP (E ) ∗ −→ R
(2.42)
ω ↦−→ 〈ω, v〉.
Grâce à cette dualité, on peut dire qu’un vecteur est un tenseur de type 1
. 0
On appelle champ tensoriel la donnée d’un tenseur en chaque point de E . Par convention,
on englobe les champs scalaires dans les champs tensoriels en les qualifiant de champs
tensoriels de type 0
. Ainsi les scalaires sont des tenseurs de valence 0, les vecteurs et
0
les formes linéaires des tenseurs de valence 1, etc.
2.3 Tenseur métrique
2.3.1 Définition
La physique classique non relativiste est basée sur un espace affine de dimension trois
sur R, que l’on appelle « l’espace », et manipule les vecteurs v de l’espace vectoriel R 3
associé. Sur cet espace vectoriel, une structure très importante est le produit scalaire de
deux vecteurs :
u · v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 , (2.43)
où les u i et v i sont les composantes de u et v dans une base orthonormale. Le produit
scalaire fonde toute la géométrie. Il permet notamment de définir la norme d’un vecteur,
l’angle entre deux vecteurs et d’introduire des relations d’orthogonalité entre deux sousespaces
(droite et plan, par exemple).
La géométrie de la physique relativiste diffère de celle de la physique classique en deux
points :