Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

V eff / c 2
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
3.5 Orbites des corps matériels 79
2 4 6 8 10 12 14
r r / R r
per
S
apo
Fig. 3.7 – Potentiel effectif défini par l’Eq. (3.94) dans le cas où le « moment cinétique » par unité de
masse ℓ de la particule vaut ℓ = 4.2 GM/c. Le segment de droite horizontal correspond à une valeur de ε
telle que ε < c 2 , ce qui assure une orbite liée, avec des valeurs de r oscillant entre rper (périastre) et rapo
(apoastre).
ce qui correspond à la fréquence orbitale suivante
3.5.5 Autres orbites
fISCO = ΩISCO
2π
= 2.20
1 M⊙
M
kHz. (3.128)
Reprenons les considérations sur l’équation (3.93), en ne supposant plus les orbites
circulaires. On constate ainsi qu’il existe des orbites liées pour
|ℓ| > ℓcrit et ε < c 2 , (3.129)
la première condition assurant que le potentiel effectif Veff(r) a une forme de puits (cf.
Fig. 3.6) et la deuxième que la particule reste piégée dans ce puits, en rendant négatif
le membre de droite de (3.93). La position radiale de la particule oscille alors entre deux
valeurs de r, rper (périastre) et rapo (apoastre) vérifiant rper ≤ rapo (cf. Fig. 3.7). rper et
rapo s’obtiennent en effectuant dr/dτ = 0 dans (3.93). De manière similaire à (3.114), on
obtient
ε2
= 1 −
c4 RS
r∗
1 + ¯ ℓ 2
RS
r∗
2
, (3.130)