Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

116 Équation d’Einstein
4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique
Cherchons à présent les solutions de l’équation d’Einstein avec Λ = 0 dans le cas
simple, mais astrophysiquement intéressant, d’un corps à symétrie sphérique et statique.
On supposera que le tenseur énergie-impulsion T est soit nul dans tout l’espace, soit celui
d’un fluide parfait dans une région limitée de l’espace. Dans le premier cas, la solution
correspondra à un trou noir de Schwarzschild, et dans le deuxième à une étoile fluide.
4.6.1 Écriture de l’équation d’Einstein
Nous avons vu au § 3.2.1, que dans tout espace-temps à symétrie sphérique, on peut
choisir des coordonnées (x α ) = (x 0 = ct, r, θ, ϕ) telles que les composantes du tenseur
métrique se mettent sous la forme (3.3). Si de plus on suppose que l’espace-temps est
statique, alors on peut supprimer la dépendence en t dans les composantes (3.3) et obtenir :
gαβ dx α dx β = −N(r) 2 c 2 dt 2 + A(r) 2 dr 2 + B(r) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (4.145)
De plus, on peut toujours choisir comme coordonnée r le rayon aréolaire des sphères
d’invariance liées à la symétrie sphérique (cf. page 59). Cela revient à faire B(r) = r. On
a alors
gαβ dx α dx β = −e 2ν(r) c 2 dt 2 + e 2α(r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) , (4.146)
où l’on a posé ν(r) := ln N(r) et α(r) := ln A(r). Nous avons besoin de la matrice inverse
gαβ , qui est évidemment
g αβ
= diag −e −2ν(r) , e −2α(r) , 1
,
r2 1
r2 sin2
.
θ
(4.147)
On peut alors calculer les symboles de Christoffel suivant (4.51) ; on obtient
Γ 0 0r = Γ 0 r0 = ν ′
Γ r 00 = e 2(ν−α) ν ′ Γ r rr = α ′ Γ r θθ = −re−2α Γ r ϕϕ = −r sin 2 θ e −2α
Γ θ rθ = Γθ θr = 1/r Γθ ϕϕ = − cos θ sin θ
Γϕ rϕ = Γϕ ϕr = 1/r Γ ϕ
1
θϕ = Γϕ
ϕθ =
tan θ ,
(4.148)
où ν ′ = dν/dr et α ′ = dα/dr. Tous les autres symboles de Christoffel sont nuls. On vérifie
que si ν = 0 et α = 0 (métrique de Minkowski), on retrouve bien (4.67)-(4.69).
À partir des symboles de Christoffel, nous pouvons calculer les composantes du tenseur
de Ricci suivant (4.110) ; il vient
R00 = e 2(ν−α)
ν ′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 2
r ν′
Rrr = −ν ′′ − (ν ′ ) 2 + ν ′ α ′ + 2
r α′
(4.149)
(4.150)
Rθθ = e −2α [r(α ′ − ν ′ ) − 1] + 1 (4.151)
Rϕϕ = sin 2 θ e −2α [r(α ′ − ν ′ ) − 1] + 1 . (4.152)