Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

204 Relativité et GPS
Fig. A.1 – Configuration du système GPS : les 24 satellites sont répartis 4 par 4 sur 6
orbites circulaires de rayon r = 26561 km = 4.16 R⊕ (période orbitale T = 12 h) et inclinées
chacune de 55 degrés par rapport au plan équatorial [source : Peter H. Dana, The
Geographer’s Craft Project, Department of Geography, The University of Colorado at Boulder,
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html].
éphémérides liées à son orbite). Un observateur sur Terre qui reçoit les signaux d’au
moins quatre satellites peut alors déduire sa position. Par exemple, si l’espace était plat,
l’observateur qui recevrait au même instant les signaux de quatre satellites déduirait sa
position r en résolvant le système de 4 équations :
r − ri − c(t − ti) = 0, i ∈ {1, 2, 3, 4}, (A.1)
où (ti, ri) est la date et position d’émission encodées dans le signal du satellite no. i. Les 4
inconnues sont les 3 composantes du vecteur position r et la date t de réception simultanée
des quatre signaux. Si l’observateur était muni d’une horloge atomique synchronisée avec
celles des satellites, elle fournirait t et 3 satellites seraient alors suffisants pour déterminer
r.
Pour avoir une précision de l’ordre du mètre sur r, il faut une précision sur les dates
ti de l’ordre de
1 m
δt ∼
c ∼ 3 × 10−9 s = 3 ns. (A.2)
La stabilité des horloges atomiques au césium est telle que δt/t ∼ < 10−13 , c’est-à-dire que
l’on atteint δt = 3 ns en t ∼ 10 h environ. Il suffit alors de régler l’horloge quelques fois
par jour, grâce à des signaux envoyés depuis le sol, pour atteindre la précision requise.
Par contre, deux effets relativistes conduisent à un δt/t bien supérieur à celui intrinsèque
aux horloges atomiques :
• la dilatation des temps : les satellites sont en mouvement par rapport à l’observateur
; M⊕ = 5.97 × 1024 kg étant la masse de la Terre, leur vitesse orbitale