Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr 135
5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr
5.6.1 Quantités conservées
Les orbites des particules matérielles dans l’espace-temps de Kerr sont beaucoup plus
compliquées que celle dans l’espace-temps de Schwarzschild. En particulier, elles ne sont
en général pas planes, sauf pour celles confinées dans le plan équatorial θ = π/2. Nous
ne discuterons ici que ce dernier cas. La situation est alors assez similaire à celle traitée
au § 3.5 pour l’espace-temps de Schwarzschild, car les quantités conservées le long d’une
géodésique du genre temps sont similaires.
Considérons en effet une particule matérielle soumise uniquement à la gravitation
dans l’espace-temps de Kerr (E , g). Sa ligne d’univers L est alors une géodésique du
genre temps. En désignant par u, p et m respectivement la 4-vitesse, la 4-impulsion et la
masse de la particule, les quantités suivantes sont conservées le long de L :
ε := − c
m ξ(0) · p = −c 2 ξ(0) · u , (5.38)
ℓ := 1
m ξ(z) · p = c ξ(z) · u (5.39)
u θ = 0. (5.40)
Tout comme dans le cas traité au § 3.5, les deux premières quantités s’interprètent comme
l’énergie par unité de masse et la composante z du moment cinétique par unité de masse,
toutes deux mesurées par un observateur à l’infini (dans le cas où la particule atteint cette
région). La conservation de ε et de ℓ le long de la géodésique L est assurée par le fait
que ξ(0) et ξ(z) sont deux vecteurs de Killing, tout comme dans le cas de la métrique de
Schwarzschild (cf. § 3.4.1). Enfin, la conservation de u θ = c −1 dθ/dτ n’est autre que la
conséquence de θ = const. = π/2.
Remarque : En plus de ε et ℓ, il existe une autre quantité conservée le long des géodésiques
de l’espace-temps de Kerr : la constante de Carter (cf. problème B.13). Cette
constante est spécifique à la métrique de Kerr et n’a pas d’équivalent dans un espacetemps
stationnaire et axisymétrique quelconque, contrairement à ε et ℓ. Dans le cas
d’un mouvement dans le plan équatorial, la constante de Carter est identiquement
nulle.
En utilisant les composantes de la métrique dans les coordonnées de Boyer-Lindquist
données par (5.24), il vient
ε
c2 = −gαβ(∂0) α u β = −g0βu β = −g00u 0 − g0ϕu ϕ
(5.41)
ℓ
c = gαβ(∂ϕ) α u β = gϕβu β = gϕ0u 0 + gϕϕu ϕ , (5.42)
c’est-à-dire, en faisant sin θ = 1 et ρ = r (puisque θ = π/2) dans (5.24),
ε
=
c2
1 − R∗
u
r
0 + aR∗
r uϕ
(5.43)