Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

3.6 Trajectoires des photons 89
On peut relier b à la distance minimale r0 du faisceau au Soleil : en effet, pour r = r0,
dr/dt = 0, ce qui, au vu de (3.179), conduit à
1 − b2
r2
1 −
0
RS
= 0 =⇒ b
r0
2 = r 2
0 1 − RS
−1 . (3.180)
r0
En reportant cette valeur dans (3.179), il vient
dt
dr
= ±1 1 −
c
RS
−1
1 −
r
r2 0
r2 −1/2 1 − RS/r
. (3.181)
1 − RS/r0
Comme en tout point du faisceau, RS ≪ r, on peut effectuer un développement limité à
l’ordre un en RS/r et RS/r0 :
dt
dr
dt
dr
±1 1 +
c
RS
r
± 1
c
1 + RS
1 − r2 0
r 2
1 − r2 0
1 − RS
r
−1/2 RS
+
r0
−1/2
1 + (r0/r) 2 (RS/r − RS/r0)
−1/2
r r2 1 − (r0/r) 2
± 1
1 +
c
RS
1 −
r
r2 0
r2 −1/2
1 − RS
−1/2 r0
r r + r0
± 1
1 +
c
RS
1 −
r
r2 0
r2 −1/2
1 + 1
RS r0
2 r r + r0
± 1
1 −
c
r2 0
r2 −1/2
1 + RS
1 RS r0
+
r 2 r r + r0
r
±1 1 +
c r2 2 − r0 RS
1 RS r0
+ . (3.182)
r 2 r r + r0
Le temps d’aller-retour du faisceau radio est
T = 2t(r⊕, r0) + 2t(r∗, r0), (3.183)
où r⊕ est la coordonnée r de la Terre et r∗ celle de la sonde spatiale (cf. Fig. 3.12) et
t(r⊕, r0) s’obtient en intégrant (3.182) :
t(r⊕, r0) := 1
r⊕
c r0
r
1 +
r2 2 − r0 RS
r
1 RS
+
2 r
r0
dr. (3.184)
r + r0
t(r∗, r0) est défini de la même manière que t(r⊕, r0), en remplaçant r⊕ par r∗. L’intégrale
(3.184) se calcule facilement en développant l’intégrant :
t(r⊕, r0) = 1
r⊕ r
c r0 r2 2 − r0 +
RS
r 2 − r 2 0
+
RSr0
2(r − r0) 1/2 (r + r0) 3/2
dr, (3.185)