Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

7.3 Espace-temps de de Sitter 175
n’est autre que l’espace R 5 muni de la métrique lorentzienne
ds 2 5 = −dT 2 + dW 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 . (7.26)
Considérons en effet l’hypersurface H de M5 définie par les équations paramétriques
⎧
⎪⎨
⎪⎩
T = b −1 sinh(bτ)
W = b −1 cosh(bτ) cos χ
X = b −1 cosh(bτ) sin χ sin θ cos ϕ
Y = b −1 cosh(bτ) sin χ sin θ sin ϕ
Z = b −1 cosh(bτ) sin χ cos θ,
(7.27)
où les paramètres (τ, χ, θ, ϕ) prennent leurs valeurs dans R × [0, π] × [0, π] × [0, 2π[. Les 5
coordonnées minkowskiennes (T, W, X, Y, Z) étant fonctions des 4 paramètres (τ, χ, θ, ϕ),
(7.27) constitue bien l’équation d’une sous-variété de dimension 4 dans M5, une hypersurface
donc. Grâce aux identités cos 2 x + sin 2 x = 1 et cosh 2 x − sinh 2 x = 1, il est facile
de vérifier que (7.27) implique
− T 2 + W 2 + X 2 + Y 2 + Z 2 = b −2 . (7.28)
b étant constant, on reconnaît-là l’équation d’un hyperboloïde à une nappe (cf. Fig. 7.3).
Calculons l’élément de longueur (7.26) lorsqu’on restreint le déplacement à être sur
H . Pour cela posons
X0 := sin χ sin θ cos ϕ, Y0 := sin χ sin θ sin ϕ, Z0 := sin χ cos θ. (7.29)
En différenciant (7.27), il vient alors
dT = cosh(bτ) dτ
À partir de ces expressions, on obtient
et
Or
dW = sinh(bτ) cos χ dτ − b −1 cosh(bτ) sin χ dχ
dX = sinh(bτ)X0 dτ + b −1 cosh(bτ) dX0
dY = sinh(bτ)Y0 dτ + b −1 cosh(bτ) dY0
dZ = sinh(bτ)Z0 dτ + b −1 cosh(bτ) dZ0.
− dT 2 + dW 2 = − 1 + sinh 2 (bτ) sin 2 χ dτ 2 − 2b −1 sinh(bτ) cosh(bτ) ×
× sin χ cos χ dτ dχ + b −2 cosh 2 (bτ) sin 2 χ dχ 2
dX 2 + dY 2 + dZ 2 = sinh 2 (bτ)(X 2 0 + Y 2
0 + Z 2 0) dτ 2
(7.30)
+2b −1 sinh(bτ) cosh(bτ) dτ(X0dX0 + Y0dY0 + Z0dZ0)
+b −2 cosh 2 (bτ) dX 2 0 + dY 2
0 + dZ 2 0 . (7.31)
X 2 0 + Y 2
0 + Z 2 0 = sin 2 χ,