Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

282 Solutions des problèmes
6 Par hypothèse, u0 = α ξ(0) avec α > 0. La condition de normalisation de la 4-vitesse
permet de déterminer α :
u0 · u0 = −1 = α 2 ξ(0) · ξ(0).
Comme ξ(0) · ξ(0) = ∂0 · ∂0 = g00 = −N 2 , on en déduit α = N −1 , d’où
u0 = 1
N ξ(0).
L’énergie du photon mesurée par O s’obtient à partir de la 4-impulsion p suivant
E = −u0 · pc.
En reportant l’expression de u0 ci-dessus, ainsi que celle de p obtenue à la question 4, il
vient
E = − 1 ε
N c
1
∂0 ·
N 2 ∂0 +
∂r c = − ε
1
N N 2 ∂0 · ∂0 +
∂0 ·
∂r .
Or d’après (B.95), g00 = −N 2 et g0r = 0, d’où E = ε/N, soit
E =
ε
1 − RS
r
.
Lorsque r → +∞, on obtient E = ε. La constante ε s’interprète donc comme l’énergie du
photon mesurée par un observateur statique situé à l’infini : ε = E∞.
À l’émission, l’énergie mesurée par un observateur statique est
On en déduit
Eem =
E∞ − Eem
Eem
=
ε
1 − RS
R
.
1 − RS
R
Cette formule correspond au décalage spectral gravitationnel, encore appelé effet Einstein.
On constate que E∞ < Eem : pour l’observateur à l’infini, le décalage est vers le rouge.
C.10 Pression de radiation et effet Poynting-Robertson
1 On a
− 1.
T = g αβ Tαβ = q g αβ kαkβ = q gαβk α k β = q k · k.
Puisque k est du genre lumière [propriété (B.104)], on en déduit que le tenseur énergieimpulsion
du rayonnement électromagnétique est de trace nulle :
T = 0.
g00
g0r