Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

54 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
Pour arriver tout de suite à des applications intéressantes et d’intérêt astrophysique,
la présentation de l’équation d’Einstein est différée au Chap. 4. Nous admettrons donc ici
que la métrique de Schwarzschild est la solution de cette équation à l’extérieur de tous les
corps à symétrie sphérique. Outre les applications astrophysiques, l’intérêt d’introduire la
métrique de Schwarzschild dès à présent est de mettre en œuvre à l’aide d’une métrique
concrète (et moins triviale que celle de Minkowski) les concepts vus dans le Chap. 2.
3.2 Métrique de Schwarzschild
Avant de présenter la métrique de Schwarzschild, voyons tout d’abord comme on traite
la symétrie sphérique et la stationnarité en relativité générale.
3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique
On dit d’un espace-temps (E , g) qu’il est stationnaire s’il existe un système de coordonnées
(x α ) = (x 0 = ct, x 1 , x 2 , x 3 ) tel que (i) les composantes gαβ du tenseur métrique
par rapport à ces coordonnées soient indépendantes de t :
∂gαβ
∂t
= 0 (3.1)
et (ii) le vecteur ∂t de la base naturelle associée aux coordonnées (x α ) soit du genre
temps. La propriété (3.1) fait du vecteur ∂t un générateur de symétrie de (E , g) : le
tenseur métrique ne varie pas lorsqu’on suit les lignes de champ de ce vecteur 1 . On dit
que ∂t est un vecteur de Killing, du nom du mathématicien allemand Wilhelm Killing
(1847-1923). Les vecteurs de Killing obéissent à une équation différentielle établie dans le
Problème B.2 page 216. Cette équation, dite équation de Killing s’exprime à l’aide de la
dérivée covariante, qui sera introduite au Chap. 4.
Pour t0 ∈ R, l’ensemble
Σt0 = {P = (ct, x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ E , t = t0} (3.2)
constitue une sous-variété de E , de dimension 3 ; on l’appelle une hypersurface de E . Un
espace-temps stationnaire dont le vecteur de Killing ∂t est orthogonal 2 aux hypersurfaces
Σt est qualifié de statique.
Par ailleurs, on dit qu’un espace-temps (E , g) est à symétrie sphérique s’il existe un
système de coordonnées (x α ) = (x 0 = ct, r, θ, ϕ) tel que (i) les surfaces {t = const, r =
const} sont de topologie sphérique et (ii) les composantes du tenseur métrique g par
rapport aux coordonnées (x α ) s’écrivent
gαβ dx α dx β = −N(r, t) 2 c 2 dt 2 + A(r, t) 2 dr 2 + B(r, t) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ), (3.3)
1 On peut donner un sens mathématique rigoureux à cette expression, en introduisant la notion de
dérivée d’un champ tensoriel le long d’un champ de vecteurs, que l’on appelle dérivée de Lie.
2 L’orthogonalité s’entend bien sûr au sens du tenseur métrique g.