Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

C.8 Vitesse du son relativiste 277
d’où 2uαaα = 0, c’est-à-dire uαaα = 0.
La projection de l’équation de conservation de l’énergie-impulsion sur u revient à
contracter la relation (C.60) avec uα. On obtient ainsi
β
u ∇β(ε + p) + (ε + p)∇βu β uαu α
+(ε + p) uαa
−1
α
+ uα∇
0
α p
uβ = 0,
∇βp
soit
u β ∇βε + (ε + p)∇βu β = 0 . (C.61)
On peut voir cette relation comme l’équation de conservation de l’énergie pour un fluide
parfait.
3 L’équation (C.61) permet de simplifier le terme entre crochets dans l’Eq. (C.60). Cette
dernière se réduit alors à
(ε + p) a α = −∇ α p − (u β ∇βp) u α . (C.62)
Il s’agit de la version relativiste de l’équation d’Euler qui gouverne la dynamique d’un
fluide parfait.
Remarque : L’équation de conservation de l’énergie-impulsion (C.60), qui est une équation
vectorielle, a quatre composantes indépendantes (repérées par l’indice α). Nous
l’avons transformée ci-dessus en deux équations : l’une scalaire [Eq. (C.61)] et l’autre
vectorielle [Eq. (C.62)], soit un total de cinq composantes. Cependant l’Eq. (C.62)
n’a que trois composantes indépendantes, car elle est clairement orthogonale à u :
uαa α = 0 (cf. question 2) et uα[∇ α p + (u β ∇βp) u α ] = 0 en raison de uαu α = −1.
Ainsi le système (C.61)-(C.62) n’a que quatre composantes indépendantes, tout
comme l’équation de départ (C.60).
4 On a
a α = u β ∇βu α = (u β
0 + δu β )∇β(u α 0 + δu α ) = u β
0 ∇βu α 0
0
+u β
0∇β δu α + δu β ∇βu α 0
0
+δu β ∇β δu α ,
où les annulations résultent du caractère constant de u0. En remarquant que le dernier
terme est du second ordre en δu, on en conclut qu’au premier ordre
L’Eq. (C.61) s’écrit
a α u β
0∇β δu α . (C.63)
(u β
0 + δu β )∇β(ε0 + δε) + (ε0 + δε + p0 + δp)∇β(u β
0 + δu β ) = 0.
En utilisant ∇β ε0 = 0, ∇β u β
0 = 0, et en développant au premier ordre dans les perturbations,
il vient
u β
0∇β δε + (ε0 + p0)∇β δu β = 0 . (C.64)