Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

soit, d’après (3.107),
3.5 Orbites des corps matériels 77
Ω = dϕ
dt
On peut alors utiliser (3.85) et (3.86) et écrire
Ω = dϕ
dt
= dϕ
dτ
× dτ
dt
ℓ
= × c2
r2
1 − RS
r
. (3.111)
ε −1 = ℓ
1 −
ε
RS
2 c
. (3.112)
r r2 Il s’agit maintenant d’exprimer ℓ/ε en fonction de r. Puisque dr/dτ = 0, on tire de (3.93)
d’où, en utilisant l’expression (3.100) de Veff(r) :
RS
r
Veff(r) = ε2 − c 4
2c 2 , (3.113)
ε2
¯ℓ
= c4 1 −
2 RS
r
Or la relation (3.106) entre r et ¯ ℓ conduit à
1
=
¯ℓ 2
1 + 1 − 3
¯ℓ 2
−1 = 1
¯ℓ 2
1 −
c’est-à-dire
RS
r
1
¯ℓ
+
2
En prenant le carré de cette relation, il vient
2 RS
=
r
1
2 1 − 1 −
9
3
¯ℓ 2
2
RS
. (3.114)
r
1 − 3
¯ℓ 2
1 − 1 − 3
¯ℓ 2
−1 , (3.115)
1
= 1 − 1 −
3
3
¯ℓ 2
. (3.116)
− 3
¯ℓ 2
, (3.117)
soit 2 RS
=
r
1
2
3
RS 1
−
r ¯ℓ 2
, (3.118)
d’où l’on tire
En reportant cette valeur de ¯ ℓ −2 dans (3.114), il vient
soit [cf. (3.99)]
2 1
RS
¯ℓ
= 2RS − 3 . (3.119)
2 r r
ε2 ¯ℓ
= 2c4
2
1 − RS
r
2 RS
, (3.120)
r
ε2
c2
= 2 1 −
ℓ2 RS r
RS
2 , (3.121)
r