Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

194 Solutions cosmologiques
courbes de E telle qu’en chaque point de E , il passe une, et exactement une, courbe de la
famille. On appelle congruence d’observateurs une congruence dont toutes les courbes sont
du genre temps ; on peut alors les considérer comme des lignes d’univers d’observateurs.
On dit qu’un espace-temps (E , g) est spatialement isotrope ssi il existe une congruence
d’observateurs telle qu’en tout point M ∈ E , si u(M) désigne la 4-vitesse de l’observateur
de la congruence qui passe par M, et v et w deux vecteurs orthogonaux à u(M), il existe
une isométrie qui laisse M et u(M) invariants et transforme v en un vecteur colinéaire à
w.
Si l’espace-temps (E , g) est à la fois spatialement homogène et spatialement isotrope,
les lignes d’univers des observateurs O définissant l’isotropie sont nécessairement orthogonales
aux hypersurfaces Σt définissant l’homogénéité spatiale. On qualifie les observateurs
O d’observateurs cosmiques et leur temps propre de temps cosmique. On peut choisir
le paramètre t d’étiquetage des hypersurfaces Σt comme le temps cosmique et écrire la
métrique sous la forme
gαβdx α dx β = −c 2 dt 2 + γijdx i dx j , (7.76)
où les coordonnées (xi ) décrivent chaque hypersurface Σt. L’hypothèse d’homogénéité
spatiale signifie que (Σt, γ) est un espace homogène et l’hypothèse d’isotropie spatiale
implique qu’il s’agit également d’un espace isotrope. (Σt, γ) est ainsi un espace maximalement
symétrique de dimension 3. Il s’agit donc d’un des trois types discutés au § 7.2.2 :
γijdx i dx j ⎧
⎨ a(t)
=
⎩
2 dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 )
(espace euclidien R3 )
a(t) 2 dχ2 + sin2 χ(dθ2 + sin2 θ dϕ2 )
(hypersphère S3 )
a(t) 2 dρ2 + sinh 2 ρ(dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) (espace hyperbolique H3 ).
(7.77)
Par rapport aux éléments de longueur présentés au § 7.2.2, on a ajouté un facteur d’échelle
a(t) > 0, qui est constant sur une hypersurface Σt donnée et donc ne change pas son caractère
d’espace maximalement symétrique ; par contre, a(t) peut varier d’une hypersurface
Σt à l’autre, d’où sa dépendance explicite en t.
On peut mettre les trois éléments de longueur (7.77) sous une forme commune. Posons
en effet, dans le cas de S3 ,
r := sin χ.
Puisque χ ∈ [0, π] [cf. (7.6)], r ∈ [0, 1]. Remarquons que l’application [0, π] → [0, 1],
χ ↦→ r n’est pas bijective : chaque élément de [0, 1[ a deux antécédents. Par conséquent,
le système de coordonnées (r, θ, ϕ) ne couvre qu’une moitié de S 3 , par exemple la moitié
χ ∈ [0, π/2]. Il faut une deuxième carte (r, θ, ϕ) pour couvrir la partie χ ∈ [π/2, π]. On a
dr = cos χ dχ et dχ 2 = dr 2 /(1 − r 2 ), si bien que
Dans le cas de H 3 , posons
dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) = dr2
1 − r 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (7.78)
r := sinh ρ.
Puisque ρ décrit R tout entier [cf. (7.10)], il en est de même de r. L’application sinh
étant une bijection R → R, le système de coordonnées (r, θ, ϕ) couvre H 3 tout entier,