Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

3.6 Trajectoires des photons 83
de Schwarzschild impliquent que la trajectoire d’un photon reste dans un plan, que l’on
choisit être θ = π/2, et que les quantités suivantes
ε := −c ξ(0) · p (3.148)
ℓ := ξ(z) · p (3.149)
sont conservées le long de la géodésique décrite par le photon. Si le photon atteint la
région asymptotique (r ≫ RS), ε et ℓ s’interprètent comme respectivement l’énergie et le
moment cinétique du photon mesurés par un observateur statique. On déduit des quantités
conservées les trois composantes suivantes de la 4-impulsion par rapport aux coordonnées
de Schwarzschild :
La relation (cf. § 2.4.1)
p 0 =
1 − RS
−1 ε
r c
(3.150)
p θ = 0 (3.151)
p ϕ = ℓ
.
r2 (3.152)
p · p = 0 (3.153)
permet alors d’obtenir la quatrième composante, puisqu’elle conduit à 6
g00(p 0 ) 2 + grr(p r ) 2 + gθθ(p θ ) 2 + gϕϕ(p ϕ ) 2 = 0. (3.154)
En utilisant les valeurs (3.6) de gαβ et les expressions (3.150)-(3.152), on obtient
(p r ) 2
+ 1 − RS
2 ℓ ε2
= . (3.155)
r r2 c2 Introduisons un paramètre affine λ le long de la géodésique lumière tel que
−→
dP
p = ℓ , (3.156)
dλ
où −→
dP est le vecteur déplacement élémentaire introduit au § 2.2.3. Puisque ℓ est constant
le long de la géodésique, sa présence dans (3.156) revient à choisir le paramètre affine λ
(cf. § 2.6.3). La formule (3.155) peut alors être réécrite comme
avec
2 dr
+ Ueff(r) = b
dλ
−2 , (3.157)
Ueff(r) = 1
r2
1 − RS
. (3.158)
r
6 On utilise le fait que les composantes gαβ de g par rapport aux coordonnées de Schwarzschild sont
diagonales.