Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

B.7 Modèle d’étoile incompressible 225
5 En utilisant les résultats des questions 1 et 2 (sans toutefois employer des notations
distinctes pour ũ α et u α ), exprimer les composantes a α en terme des fonctions X α (τ).
Comparer avec l’équation des géodésiques et conclure.
6 Pour tout champ vectoriel v sur E , on appelle dérivée de Fermi-Walker de v le long
de L le vecteur défini en tout point de L par
D FW
u v := ∇u v + (u · v) a − (a · v) u. (B.65)
Montrer que DFW u u = 0 et que si v est orthogonal à u (c’est-à-dire si v est dans l’espace
local de repos de l’observateur O), alors DFW u v l’est également. La dérivée covariante ∇u v
a-t-elle cette propriété ?
7 Montrer que si v et w sont deux champs vectoriels définis le long de L tels que
DFW u v = 0 et DFW
u w = 0, alors le produit scalaire v · w est constant le long de L .
8 On définit l’opérateur vectoriel
⊥u : TP (E ) −→ TP (E )
v ↦−→ v + (u · v) u.
(B.66)
⊥u est-il un opérateur linéaire ? Constater que ⊥u(u) = 0 et que pour tout vecteur
v orthogonal à u, ⊥u(v) = v. En déduire que ⊥u est le projecteur orthogonal sur
l’hyperplan normal à u (espace local de repos de l’observateur O). Exprimer la matrice
⊥ α β de ⊥u dans la base naturelle ( ∂α) en fonction des composantes u α du vecteur u et
des composantes uα de la forme linéaire u associée à u par la métrique g.
9 Montrer que, pour tout champ vectoriel v orthogonal à u,
B.7 Modèle d’étoile incompressible
D FW
u v = ⊥u (∇u v) . (B.67)
On se propose d’étudier un modèle très simplifié d’étoile relativiste, à savoir une étoile
statique constituée d’un fluide parfait incompressible. La densité d’énergie totale ρc 2 est
alors constante dans toute l’étoile :
ρ = ρ0 = const. (B.68)
Bien entendu, la matière qui constitue les étoiles réelles est compressible (notamment la
matière nucléaire dont sont formées les étoiles à neutrons), de sorte que (B.68) est une
hypothèse académique. Néanmoins elle présente l’avantage de conduire à une solution
exacte de l’équation d’Einstein, obtenue par Karl Schwarzschild en 1916 [35].
On fera l’hypothèse d’un espace-temps (E , g) statique et à symétrie sphérique. Il existe
alors un système de coordonnées (x α ) = (ct, r, θ, ϕ) où les composantes de la métrique se
mettent sous la forme (cf. § 4.6)
gαβ dx α dx β = −e 2ν(r) c 2 dt 2 + e 2α(r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (B.69)