Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

184 Solutions cosmologiques
et
2(x dx + y dy + z dz) = d(x 2 + y 2 + z 2 ) = d(r 2 ) = 2r dr
dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ).
L’addition de (7.52) et (7.53) conduit ainsi à
−dT 2 + dW 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 = −dt 2 + e 2bt [dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 )].
L’élément de longueur minkowskien 5-dimensionnel coïncidant avec l’élément de longueur
donné par g sur H [cf. (7.32)], on en déduit les composantes du tenseur métrique de
l’espace-temps de de Sitter dans les coordonnées de Lemaître (x ˆα ) = (t, r, θ, ϕ) :
g ˆα ˆ β dx ˆα dx ˆ β = −dt 2 + e 2bt dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) . (7.54)
Cette forme de la métrique est très simple. En particulier les hypersurfaces t = const
sont plates : la métrique induite y est proportionnelle à la métrique euclidienne dr 2 +
r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). Si ces hypersurfaces ont l’air courbes sur la Fig. 7.5, c’est qu’elles ont
une courbure extrinsèque, leur courbure intrinsèque étant nulle. De manière analogue, le
cylindre plongé dans l’espace euclidien R 3 a une courbure extrinsèque non nulle, alors que
sa courbure intrinsèque vaut zéro (son tenseur de Riemann est identiquement nul). Les
observateurs comobiles (i.e. les observateurs de coordonnées (r, θ, ϕ) fixes, représentés par
les lignes d’univers rouge sur la Fig. 7.5) forment une famille en expansion exponentielle :
la séparation métrique entre deux tels observateurs varie comme e bt .
7.3.6 Coordonnées statiques
Un autre système de coordonnées intéressant sur l’espace-temps de de Sitter est fourni
par la transformation (τ, χ, θ, ϕ) ↦→ (¯t, ¯r, θ, ϕ) définie par
⎧
⎪⎨ ¯t :=
⎪⎩
1
b argsinh
⎡
⎣
sinh(bτ)
1 − cosh 2 (bτ) sin2 ⎤
⎦
χ
¯r := 1
(7.55)
cosh(bτ) sin χ,
b
θ et ϕ restant inchangées. Les coordonnées (¯t, ¯r, θ, ϕ) sont appelées coordonnées statiques
car elles sont liées à un vecteur de Killing statique de l’espace-temps de de Sitter, ainsi
que nous allons le montrer. Remarquons qu’en raison de la racine carrée dans l’expression
de ¯t, les coordonnées statiques ne sont définies que pour
cosh(bτ) sin χ < 1. (7.56)
Cette condition restreint le domaine de variation de ¯r : via (7.55), elle implique ¯r < b −1 .
Par ailleurs, puisque χ ∈ [0, π], ¯r ≥ 0. De son côté, ¯t peut prendre n’importe quelle valeur
réelle lorsque τ décrit R. On en déduit le domaine de variation des coordonnées statiques :
¯t ∈ R, ¯r ∈ [0, b −1 [ . (7.57)