Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

3.2 Métrique de Schwarzschild 55
où N, A et B sont trois fonctions quelconques, de (t, r) seulement. On remarque que les
composantes gαβ données par (3.3) sont indépendantes de la coordonnée ϕ :
∂gαβ
∂ϕ
= 0. (3.4)
Il s’en suit que le vecteur ∂ϕ de la base naturelle associée aux coordonnées (ct, r, θ, ϕ)
est un vecteur de Killing. Cela traduit l’invariance par rotation autour de l’axe des z
(z := r cos θ). Deux autres vecteurs de Killing d’un espace-temps à symétrie sphérique
sont
ξ(x) = − sin ϕ ∂θ − cot θ cos ϕ ∂ϕ et ξ(y) = − cos ϕ ∂θ + cot θ sin ϕ ∂ϕ. (3.5)
Ils correspondent respectivement à l’invariance par rotation autour de l’axe des x (x :=
r sin θ cos ϕ) et autour de l’axe des y (y := r sin θ sin ϕ).
Remarque : Contrairement à ∂ϕ, le vecteur ∂θ ne constitue pas un vecteur de Killing
d’un espace-temps à symétrie sphérique, car ∂gϕϕ/∂θ = 0, en raison du terme en
sin 2 θ dans (3.3).
3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild
Comme mentionné dans l’introduction, nous différons au Chap. 4 la démonstration du
fait que l’espace-temps à l’extérieur d’un corps isolé à symétrie sphérique est indépendant
du détail de la structure interne de ce corps et est donné par la métrique de Schwarzschild.
Cette dernière est une solution de l’équation d’Einstein que l’on peut définir par l’existence
d’un système de coordonnées (x α ) = (ct, r, θ, ϕ), dites coordonnées de Schwarzschild, telles
que les composantes gαβ du tenseur métrique g s’y écrivent
gαβ dx α dx β
= − 1 − 2GM
c2
c
r
2 dt 2
+ 1 − 2GM
c2 −1 dr
r
2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 .
(3.6)
Il apparaît dans cette expression les constantes fondamentales c (vitesse de la lumière, cf.
(2.1)) et G (constante de Newton pour la gravitation) :
G = 6.6726 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 . (3.7)
Hormis c et G, l’unique paramètre qui apparaît dans (3.6) est la constante M. Cette
dernière dépend du corps central et nous verrons plus bas qu’elle correspond à la masse
de ce corps.
La première constatation à faire au vu de (3.6) est que l’espace-temps (E , g) est
statique et à symétrie sphérique. En effet, les composantes de la métrique sont clairement
indépendantes de t et, pour r > 2GM/c 2 , ∂t · ∂t = −c 2 [1 − 2GM/(c 2 r)] < 0, c’est-à-dire
que ∂t est du genre temps ; de part la définition donnée au § 3.2.1, on en conclut que
l’espace-temps est stationnaire. De plus, les composantes gαβ étant diagonales, le vecteur