Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

50 Cadre géométrique
En reportant ces valeurs dans l’Eq. (2.138), il vient
d 2 X ′α
dλ ′2 + Γα µν
Si l’on choisit f(λ) telle que
dX ′µ
dλ ′
df
dλ
dX ′ν −2
df
= κ(λ)
dλ ′ dλ
df
dλ − d2f dλ2 ′α
dX
dλ ′ . (2.141)
λ
= a exp κ(
0
¯ λ) d¯
λ
, (2.142)
où a est une constante, alors le membre de droite de (2.141) s’annule et on obtient la forme
(2.139). Les paramètres λ pour lesquels l’équation des géodésiques de longueur nulle prend
la forme (2.139) sont appelés paramètres affines de la géodésique. Cette qualification vient
de ce que tout changement de paramètre de la forme
λ ′ = aλ + b, a = const., b = const. (2.143)
préserve la forme (2.139) de l’équation des géodésiques [pour le voir, il suffit de faire
κ(λ) = 0 dans l’Eq. (2.142)].
Exemple 1: Plaçons-nous l’espace-temps de Minkowski (E , g) et utilisons des coordonnées
inertielles (x α ) = (ct, x, y, z), tout comme dans l’exemple du § 2.6.2. En vertu
de (2.134), l’équation des géodésiques (2.139) se réduit à ¨ X α = 0. Cette équation
s’intègre immédiatement en
X α (λ) = V α λ + x α 0 ,
où (V α , x α 0 ) sont des constantes. Tout comme pour les géodésiques du genre temps
[cf. Eq. (2.136)], on constate donc que les géodésiques lumière de l’espace-temps de
Minkowski sont des droites. Elles doivent être tangentes aux cônes de lumière, ce
qui impose la restriction suivante sur les constantes (V α ) :
−(V 0 ) 2 + (V 1 ) 2 + (V 2 ) 2 + (V 3 ) 2 = 0.
Exemple 2: Toujours dans l’espace-temps de Minkowski, considérons la courbe C d’équation
paramétrique
C :
⎧
⎪⎨
ct = X
⎪⎩
0 (λ) = Rλ
x = X1 (λ) = R cos λ
y = X2 (λ) = R sin λ
z = X3 (λ) = 0,
(2.144)
où R est une contante strictement positive. Dans un diagramme d’espace-temps, C
est une hélice de rayon R et de pas 2πR (cf. Fig. 2.19). Le vecteur tangent associé
a pour composantes
v α = ˙ X α = (R, −R sin λ, R cos λ, 0) .