Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

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28 Cadre géométrique 2.3.4 Genre des 4-vecteurs Si l’on considère le produit scalaire classique (2.43) sur l’espace euclidien de dimension trois, sa signature (+, +, +) fait qu’il est défini positif, c’est-à-dire que v · v ≥ 0 pour tout vecteur v, l’égalité n’étant réalisée que si, et seulement si, v = 0. Par contre la signature (−, +, +, +) de g ne lui permet pas d’être défini positif. Le produit scalaire d’un 4-vecteur u avec lui même peut a priori avoir n’importe quel signe et être nul sans que u le soit. On pose alors les définitions suivantes : On dit qu’un vecteur u de TP (E ) est : • du genre temps ssi : g(u, u) < 0 ; • du genre espace ssi : g(u, u) > 0 ; • du genre lumière ssi : u = 0 et g(u, u) = 0. Dans le vocabulaire de l’algèbre linéaire, les vecteurs du genre lumière s’appellent aussi vecteurs isotropes de la forme bilinéaire g. Ces définitions à connotation « physique » seront justifiées au § 2.4. Remarque : « du genre lumière » se dit « null » en anglais ; ainsi lorsqu’on rencontre le terme « null vector » dans un texte anglais, il ne s’agit pas du vecteur nul, mais d’un vecteur de genre lumière. Un 4-vecteur u est dit unitaire ssi u est du genre temps et vérifie g(u, u) = −1 ou bien u est du genre espace et vérifie g(u, u) = 1. 2.3.5 Représentation graphique des vecteurs Pour dessiner des figures dans l’espace-temps, on supprimera une ou deux dimensions : on aura alors respectivement des dessins à trois dimensions en perspective ou des dessins plans. Deux vecteurs orthogonaux pour la métrique g ne seront pas nécessairement représentés par deux flèches perpendiculaires (au sens usuel du terme) : par exemple, un vecteur de genre lumière est orthogonal à lui-même alors que graphiquement, une flèche ne peut évidemment pas être perpendiculaire à elle-même. Cet aspect des graphiques d’espacetemps est illustré sur les Fig. 2.7 et Fig. 2.8, sur lesquelles nous invitons le lecteur à pendre le temps de réfléchir. Commençons par discuter la Fig. 2.7. On considère une base vectorielle (eα) orthonormale pour la métrique g. Pour obtenir une figure bidimensionnelle, nous ne représenterons que les deux premiers vecteurs de cette base : e0 est par définition un vecteur du genre temps unitaire : e0 · e0 = −1 [cf. (2.58)], e1 est un vecteur du genre espace unitaire : e1 · e1 = 1 [cf. (2.59)], et e0 et e1 sont mutuellement orthogonaux : e0 · e1 = 0 [cf. (2.60)]. Sur la Fig. 2.7, on a choisi arbitrairement de représenter les vecteurs e0 et e1 par deux flèches perpendiculaires, avec le vecteur du genre temps vertical et celui du genre espace horizontal. Par ailleurs, nous avons dessiné quatre autres vecteurs, a0, a1, u et v, dont les composantes respectives dans la base (e0, e1, e2, e3) sont a α 0 = ( √ 2, 1, 0, 0), a α 1 = (1, √ 2, 0, 0), u α = (1, 1, 0, 0), v α = (1, −1, 0, 0). (2.67) La première remarque que l’on peut faire est que, bien que les flèches qui les représentent sur la Fig. 2.7 ne soient pas perpendiculaires, les vecteurs a0 et a1 sont orthogonaux pour
2.3 Tenseur métrique 29 Fig. 2.7 – 4-vecteurs de l’espace TP (E ) : deux dimensions d’espace ont été supprimées si bien que la figure est plane. Fig. 2.8 – Même vecteurs de l’espace TP (E ) que sur la Fig. 2.7, mais dans une représentation basée sur la base orthonormale (a1, a2), plutôt que (e1, e2). Même si la figure a l’air très différente de la Fig. 2.7, on peut constater que les égalités vectorielles u = e0 + e1 et v = e0 − e1 sont bien satisfaites. Par ailleurs, les vecteurs du genre lumière, c’est-à-dire u et v, sont dessinés à 45 ◦ , tout comme sur la Fig. 2.7.
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