Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

146 Ondes gravitationnelles
Auparavant, introduisons quelques notations. La matrice de Minkowski η est sa propre
inverse. Nous la désignerons toutefois par η αβ lorsque nous l’utiliserons en tant qu’inverse.
Ainsi, on écrit le produit matriciel η −1 × η = Id comme
mais, numériquement,
η αµ ηµβ = δ α β, (6.5)
η αβ = diag(−1, 1, 1, 1), (6.6)
soit la même valeur que (6.2). La matrice inverse de gαβ, g αβ , peut s’écrire comme η αβ ,
plus une petite perturbation k αβ :
g αβ = η αβ + k αβ , avec |k αβ | ≪ 1. (6.7)
Il est facile de relier k αβ à hαβ en utilisant la définition de g αβ comme inverse de gαβ :
g αµ gµβ = δ α β
(η αµ + k αµ ) (ηµβ + hµβ) = δ α β
η αµ hµβ + k αµ ηµβ + k αµ hµβ = 0. (6.8)
Au premier ordre en hαβ ou k αβ , on peut négliger le terme quadratique k αµ hµβ. On obtient
alors
k αµ ηµβ = −η αµ hµβ, (6.9)
c’est-à-dire, après multiplication matricielle par η −1 :
Cette expression suggère d’introduire
k αβ = −η αµ hµνη νβ = −η αµ η βν hµν. (6.10)
Notons qu’en tant que matrice, h αβ est identique à hαβ.
h αβ := η αµ η βν hµν. (6.11)
Remarque : Contrairement à g αβ qui désigne l’inverse de la matrice gαβ, ou η αβ qui
désigne l’inverse de la matrice η αβ , h αβ n’est pas l’inverse de la matrice hαβ. Cette
dernière n’est d’ailleurs pas forcément inversible.
Au vu de (6.10), on peut écrire (6.7) sous la forme
6.2.2 Équation d’Einstein linéarisée
g αβ = η αβ − h αβ . (6.12)
La première étape consiste à calculer les symboles de Christoffel associés à la métrique
g et aux coordonnées (x α ) via l’expression (4.51). En y portant (6.1) et (6.12) et en
utilisant ∂ηαβ/∂x γ = 0, il vient
Γ α βγ = 1
2 (ηαν − h αν
∂hνγ
)
∂x
∂x
∂x ν
∂hβν ∂hβγ
+ − β γ
, (6.13)