Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

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50 Cadre géométrique En reportant ces valeurs dans l’Eq. (2.138), il vient d 2 X ′α dλ ′2 + Γα µν Si l’on choisit f(λ) telle que dX ′µ dλ ′ df dλ dX ′ν −2 df = κ(λ) dλ ′ dλ df dλ − d2f dλ2 ′α dX dλ ′ . (2.141) λ = a exp κ( 0 ¯ λ) d¯ λ , (2.142) où a est une constante, alors le membre de droite de (2.141) s’annule et on obtient la forme (2.139). Les paramètres λ pour lesquels l’équation des géodésiques de longueur nulle prend la forme (2.139) sont appelés paramètres affines de la géodésique. Cette qualification vient de ce que tout changement de paramètre de la forme λ ′ = aλ + b, a = const., b = const. (2.143) préserve la forme (2.139) de l’équation des géodésiques [pour le voir, il suffit de faire κ(λ) = 0 dans l’Eq. (2.142)]. Exemple 1: Plaçons-nous l’espace-temps de Minkowski (E , g) et utilisons des coordonnées inertielles (x α ) = (ct, x, y, z), tout comme dans l’exemple du § 2.6.2. En vertu de (2.134), l’équation des géodésiques (2.139) se réduit à ¨ X α = 0. Cette équation s’intègre immédiatement en X α (λ) = V α λ + x α 0 , où (V α , x α 0 ) sont des constantes. Tout comme pour les géodésiques du genre temps [cf. Eq. (2.136)], on constate donc que les géodésiques lumière de l’espace-temps de Minkowski sont des droites. Elles doivent être tangentes aux cônes de lumière, ce qui impose la restriction suivante sur les constantes (V α ) : −(V 0 ) 2 + (V 1 ) 2 + (V 2 ) 2 + (V 3 ) 2 = 0. Exemple 2: Toujours dans l’espace-temps de Minkowski, considérons la courbe C d’équation paramétrique C : ⎧ ⎪⎨ ct = X ⎪⎩ 0 (λ) = Rλ x = X1 (λ) = R cos λ y = X2 (λ) = R sin λ z = X3 (λ) = 0, (2.144) où R est une contante strictement positive. Dans un diagramme d’espace-temps, C est une hélice de rayon R et de pas 2πR (cf. Fig. 2.19). Le vecteur tangent associé a pour composantes v α = ˙ X α = (R, −R sin λ, R cos λ, 0) .
2.6 Principe d’équivalence et géodésiques 51 Fig. 2.19 – Courbe du genre lumière non-géodésique dans l’espace-temps de Minkowski : cette courbe est de longueur nulle mais n’est pas une géodésique. Ce dernier est clairement du genre lumière : gαβv α v β = ηαβv α v β = −R 2 + R 2 sin 2 λ + R 2 cos 2 λ = 0, de sorte que C est une courbe du genre lumière. Par contre, il ne s’agit pas d’une géodésique car ¨X α = (0, −R cos λ, R sin λ, 0) = κ ˙ X α , si bien que l’équation des géodésiques (2.138) n’est pas vérifiée. Rappelons que dans le cas présent Γ α µν = 0 [Eq. (2.134)].
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