Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

7.4 Espace-temps anti-de Sitter (AdS) 189
Considérons donc l’image H de E dans R2,3 par l’application Φ définie par
⎧
⎪⎨
⎪⎩
U = b −1 sin(bτ) cosh ρ
V = b −1 cos(bτ) cosh ρ
X = b −1 sinh ρ sin θ cos ϕ
Y = b −1 sinh ρ sin θ sin ϕ
Z = b −1 sinh ρ cos θ,
H est une hypersurface de R 2,3 . Il est facile de vérifier que (7.67) conduit
(7.67)
− U 2 − V 2 + X 2 + Y 2 + Z 2 = −b −2 . (7.68)
H est un hyperboloïde à une nappe (de dimension 4 !) ; il est représenté sur la Fig. 7.7.
Remarquons que contrairement à la représentation hyperboloïdale de l’espace-temps de
de Sitter considérée au § 7.3.2, l’application Φ : E → H n’est pas bijective, en raison
des fonctions périodiques de τ présentes dans (7.67).
Montrons que si l’on mesure les distances sur H à l’aide de la métrique pseudoriemanienne
(7.66) on retrouve la métrique physique (7.64) de l’espace-temps AdS. À
cette fin, posons
X0 := sin θ cos ϕ, Y0 := sin θ sin ϕ, Z0 := cos θ,
de sorte que l’on peut écrire, sur H ,
On en déduit
et
dU = cos(bτ) cosh ρ dτ + b −1 sin(bτ) sinh ρ dρ
dV = − sin(bτ) cosh ρ dτ + b −1 cos(bτ) sinh ρ dρ
dX = b −1 (cosh ρX0 dρ + sinh ρ dX0)
dY = b −1 (cosh ρY0 dρ + sinh ρ dY0)
dZ = b −1 (cosh ρZ0 dρ + sinh ρ dZ0) .
dU 2 + dV 2 = cosh 2 ρ dτ 2 + b −2 sinh 2 ρ dρ
dX 2 + dY 2 + dZ 2 = b −2 [ cosh 2 ρ(X 2 0 + Y 2
0 + Z 2 0) dρ 2
+2 sinh ρ cosh ρ(X0 dX0 + Y0 dY0 + Z0 dZ0) dρ
+ sinh 2 ρ(dX 2 0 + dY 2
0 + dZ 2 0)].
Or X 2 0 + Y 2
0 + Z 2 0 = 1, d’où X0 dX0 + Y0 dY0 + Z0 dZ0 = 1/2d(X 2 0 + Y 2
0 + Z 2 0) = 0. Par
ailleurs, dX 2 0 + dY 2
0 + dZ 2 0 = dθ 2 + sin 2 dθ 2 . Il vient donc
Au final,
dX 2 + dY 2 + dZ 2 = b −2 cosh 2 ρ dρ 2 + sinh 2 ρ(dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) .
−dU 2 − dV 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 = − cosh 2 ρ dτ 2 + b −2 dρ 2 + sinh 2 ρ(dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) .