Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

228 Problèmes
2 Montrer que les vecteurs u et a sont orthogonaux, c’est-à-dire que uαa α = 0. En
déduire que la projection de l’équation obtenue à la question 1 sur la 4-vitesse du fluide
conduit à
u β ∇βε + (ε + p)∇βu β = 0. (B.83)
3 À l’aide de (B.83), simplifier l’équation obtenue à la question 1 pour la mettre sous
la forme
(ε + p) a α = −∇ α p − (u β ∇βp) u α . (B.84)
4 On considère une perturbation d’un fluide homogène, c’est-à-dire que
ε = ε0 + δε (B.85)
p = p0 + δp (B.86)
u = u0 + δu, (B.87)
où ε0, p0 et u0 sont des champs constants sur l’espace-temps : ∇ε0 = 0, ∇p0 = 0 et
∇u0 = 0. On négligera les effets du champ gravitationnel, c’est-à-dire que l’on se place
dans l’espace-temps de Minkowski. Montrer qu’au premier ordre en δu,
a α u β
0∇βδu α . (B.88)
Développer ensuite les équations (B.83) et (B.84) au premier ordre en δε, δp et δu.
5 Exprimer la perturbation δp en fonction de δε et de la dérivée de l’équation d’état
(B.81)
p ′ 0 := dp
dε
. (B.89)
ε=ε0
On supposera p ′ 0 > 0 et on remarquera que p ′ 0 est un champ constant sur l’espace-temps.
Réécrire alors la version linéarisée de l’Eq. (B.84) obtenue à la question 4 uniquement en
fonction de δε et δu.
6 En prenant la dérivée le long de u0 de la version linéarisée de l’Eq. (B.83) obtenue
à la question 4 (c’est-à-dire en la contractant avec u α 0 ∇α) et en prenant la divergence de
l’équation obtenue à la question 5 (c’est-à-dire en la contractant avec ∇α), montrer que
l’on obtient l’équation suivante pour la perturbation δε :
ou de manière équivalente,
(1 − p ′ 0)u α 0 u β
0∇α∇β δε − p ′ 0∇α∇ α δε = 0, (B.90)
(1 − p ′ 0)∇u0∇u0 δε − p ′ 0 δε = 0, (B.91)
:= ∇α∇ α étant l’opérateur d’alembertien associé à la métrique g.
7 Dire pourquoi on peut introduire un système de coordonnées (xα ) = (ct, x, y, z) tel
que
u α 0 ∇α = 1 ∂
.
c ∂t
(B.92)